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Textaufgaben: Vektoren im Koordinatensystem

Vektoren einzeichnen, aus dem Koordinatensystem ablesen und komponentenweise addieren — inklusive Schlepper-Kräften auf ein Schiff.

Zum NachschlagenZurück zur ErklärungDie Zeichenanleitung, die Spaltenschreibweise und die Vektor-Werkstatt noch einmal nachlesen.
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Textaufgaben

Fünf Aufgaben aus dem Arbeitsblatt Vektoren im ℝ²: zuerst sieben Vektoren selbst einzeichnen, dann fünf gezeichnete Vektoren aus dem Koordinatensystem ablesen, danach drei Vektoren komponentenweise addieren. Es folgen zwei Schlepper, die ein Schiff ziehen — und zum Schluss die Frage, warum die Zeichnung aus Kapitel 2.2.2 und die Rechnung aus diesem Kapitel dasselbe Ergebnis liefern müssen. Zu jeder Teilaufgabe gibt es einen Hinweis und einen Erwartungshorizont — öffne den Erwartungshorizont erst, wenn du deine eigene Lösung aufgeschrieben hast.

1

Vektoren einzeichnen

AFB I

Gegeben sind sieben Vektoren. Zeichne sie in das leere Koordinatensystem (Material M1) ein. Halte dich dabei genau an die Anleitung aus dem Hefter: Anfangspunkt wählen – \(x\) Schritte waagerecht – \(y\) Schritte senkrecht – Anfangspunkt und Endpunkt verbinden.

\( \vec{a} = \begin{pmatrix} 3 \\ 2 \end{pmatrix} \quad \vec{b} = \begin{pmatrix} 1 \\ 4 \end{pmatrix} \quad \vec{c} = \begin{pmatrix} 7 \\ 1 \end{pmatrix} \quad \vec{d} = \begin{pmatrix} -3 \\ 5 \end{pmatrix} \quad \vec{e} = \begin{pmatrix} -1 \\ -1 \end{pmatrix} \quad \vec{f} = \begin{pmatrix} -2 \\ 6 \end{pmatrix} \quad \vec{g} = \begin{pmatrix} 0 \\ 3 \end{pmatrix} \)

M1Das leere Koordinatensystem
−10−9−8−7−6−5−4−3−2−112345678910−3−2−1123xy

Sieben Pfeile in einem Koordinatensystem: Es ist genau 6 Kästchen hoch. Plane deshalb vorher, wo du jeden Vektor beginnen lässt.

  1. Zeichne die Vektoren \(\vec{a}\), \(\vec{b}\), \(\vec{c}\) und \(\vec{d}\) in das Koordinatensystem M1 ein.
  2. Zeichne auch \(\vec{e}\), \(\vec{f}\) und \(\vec{g}\) ein.
  3. Beschreibe für \(\vec{g}\) die Schrittfolge und erkläre, warum dieser Vektor ein Sonderfall ist.
Hinweis zu Aufgabe a)
Das Vorzeichen entscheidet über die Richtung: \(x > 0\) heißt nach rechts, \(x < 0\) nach links; \(y > 0\) nach oben, \(y < 0\) nach unten. Bei \(\vec{d} = \begin{pmatrix}-3\\5\end{pmatrix}\) gehst du also nach links und nach oben.
Hinweis zu Aufgabe b)
Schau dir \(\vec{f} = \begin{pmatrix}-2\\6\end{pmatrix}\) genau an: Sechs Schritte nach oben sind genau die volle Höhe des Koordinatensystems. Wo muss der Anfangspunkt dann liegen?Der Anfangspunkt ist frei wählbar — aber der Endpunkt muss noch auf das Blatt passen. Bei hohen Vektoren fängt man deshalb ganz unten an, bei tiefen ganz oben.
Hinweis zu Aufgabe c)
Setze \(x = 0\) in Schritt 2 der Anleitung ein: Wie viele Schritte gehst du dann nach links oder rechts?
Erwartungshorizont zu Aufgabe a)

Anfangspunkt frei wählen, dann von dort aus:

\(\vec{a} = \begin{pmatrix}3\\2\end{pmatrix}\): 3 Schritte nach rechts, 2 Schritte nach oben, verbinden.
\(\vec{b} = \begin{pmatrix}1\\4\end{pmatrix}\): 1 Schritt nach rechts, 4 Schritte nach oben.
\(\vec{c} = \begin{pmatrix}7\\1\end{pmatrix}\): 7 Schritte nach rechts, 1 Schritt nach oben — ein sehr flacher, langer Pfeil.
\(\vec{d} = \begin{pmatrix}-3\\5\end{pmatrix}\): 3 Schritte nach links, 5 Schritte nach oben.

Wichtig: Die Lösung des Lehrers zeigt die sieben Pfeile an ganz unterschiedlichen Stellen des Koordinatensystems. Jede Position ist richtig, solange die Verschiebung stimmt — deine Zeichnung muss also nicht Pfeil für Pfeil mit der Musterlösung übereinstimmen. Vergleiche stattdessen Länge und Richtung.

Erwartungshorizont zu Aufgabe b)

\(\vec{e} = \begin{pmatrix}-1\\-1\end{pmatrix}\): 1 Schritt nach links, 1 Schritt nach unten — ein kurzer Pfeil schräg nach links unten.
\(\vec{f} = \begin{pmatrix}-2\\6\end{pmatrix}\): 2 Schritte nach links, 6 Schritte nach oben.
\(\vec{g} = \begin{pmatrix}0\\3\end{pmatrix}\): 0 Schritte waagerecht, 3 Schritte nach oben.

\(\vec{f}\) nutzt die volle Höhe des Koordinatensystems aus: Der Anfangspunkt muss auf der Linie \(y = -3\) liegen, der Endpunkt landet dann genau auf \(y = 3\). Ein Anfangspunkt weiter oben würde aus dem Blatt hinausführen.

Erwartungshorizont zu Aufgabe c)

Schrittfolge für \(\vec{g} = \begin{pmatrix}0\\3\end{pmatrix}\): Anfangspunkt wählen – 0 Schritte nach links oder rechts – 3 Schritte nach oben – Anfangspunkt und Endpunkt verbinden.

Sonderfall: Weil die \(x\)-Koordinate null ist, entfällt die waagerechte Verschiebung vollständig. Der Pfeil steht senkrecht nach oben; Anfangs- und Endpunkt liegen genau übereinander. Ein Vektor mit \(x = 0\) ist deshalb immer parallel zur \(y\)-Achse — und entsprechend wäre ein Vektor mit \(y = 0\) immer parallel zur \(x\)-Achse.

2

Vektoren ablesen

AFB I

In Material M2 sind fünf Vektoren eingezeichnet. Jeder Pfeil beginnt an einem Punkt (schwarz markiert) und endet an der Pfeilspitze. Ermittle für jeden Pfeil das Zahlenpaar und schreibe es in Spaltenschreibweise auf.

M2Fünf eingezeichnete Vektoren
−10−9−8−7−6−5−4−3−2−112345678910−5−4−3−2−11234xy a⃗ b⃗ c⃗ d⃗ e⃗

Der schwarze Punkt markiert jeweils den Anfangspunkt, die Spitze den Endpunkt. Die Pfeile stehen absichtlich an verschiedenen Stellen — für den Vektor zählt nur die Verschiebung.

  1. Ermittle die Vektoren \(\vec{a}\), \(\vec{b}\) und \(\vec{c}\).
  2. Ermittle die Vektoren \(\vec{d}\) und \(\vec{e}\).
  3. Erläutere allgemein, wie man aus Anfangspunkt und Endpunkt die Koordinaten eines Vektors bestimmt.
Hinweis zu Aufgabe a)
Zähle die Kästchen: erst waagerecht vom Anfangspunkt bis unter die Spitze, dann senkrecht hinauf oder hinunter. Nach links und nach unten gezählte Schritte bekommen ein Minuszeichen.
Hinweis zu Aufgabe b)
Bei \(\vec{e}\) steht der Pfeil senkrecht. Wie viele Schritte gehst du dann waagerecht — und welches Vorzeichen bekommt die senkrechte Zahl?Ein senkrechter Pfeil hat \(x = 0\), ein waagerechter Pfeil hat \(y = 0\). Genau das ist der Sonderfall aus Aufgabe 1c.
Hinweis zu Aufgabe c)
Nenne den Anfangspunkt \(A(x_A | y_A)\) und den Endpunkt \(E(x_E | y_E)\). Welche Rechnung liefert die Anzahl der Schritte von \(A\) nach \(E\)?
Erwartungshorizont zu Aufgabe a)

\(\vec{a}\): von \((-9|1)\) nach \((-5|3)\) — 4 Schritte nach rechts, 2 nach oben:
\(\vec{a} = \begin{pmatrix}4\\2\end{pmatrix}\)

\(\vec{b}\): von \((-1|{-1})\) nach \((-6|{-2})\) — 5 Schritte nach links, 1 nach unten:
\(\vec{b} = \begin{pmatrix}-5\\-1\end{pmatrix}\)

\(\vec{c}\): von \((5|2)\) nach \((3|2)\) — 2 Schritte nach links, kein Schritt senkrecht:
\(\vec{c} = \begin{pmatrix}-2\\0\end{pmatrix}\)

Erwartungshorizont zu Aufgabe b)

\(\vec{d}\): von \((2|{-2})\) nach \((4|0)\) — 2 Schritte nach rechts, 2 nach oben:
\(\vec{d} = \begin{pmatrix}2\\2\end{pmatrix}\)

\(\vec{e}\): von \((8|0)\) nach \((8|{-4})\) — kein Schritt waagerecht, 4 Schritte nach unten:
\(\vec{e} = \begin{pmatrix}0\\-4\end{pmatrix}\)

\(\vec{c}\) und \(\vec{e}\) sind die beiden Sonderfälle: \(\vec{c}\) verläuft waagerecht (\(y = 0\)), \(\vec{e}\) senkrecht (\(x = 0\)).

Erwartungshorizont zu Aufgabe c)

Man rechnet Endpunkt minus Anfangspunkt, und zwar komponentenweise:

\[ \vec{v} = \begin{pmatrix} x_E - x_A \\ y_E - y_A \end{pmatrix} \]

Probe an \(\vec{b}\) mit \(A(-1|{-1})\) und \(E(-6|{-2})\):

\( \vec{b} = \begin{pmatrix} -6 - (-1) \\ -2 - (-1) \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -5 \\ -1 \end{pmatrix} \)

Das ist dasselbe wie Kästchenzählen, nur ohne Zählfehler. Und es zeigt noch einmal, warum der Anfangspunkt egal ist: In der Differenz taucht er zwar auf, aber verschiebt man \(A\) und \(E\) gemeinsam um denselben Betrag, bleibt die Differenz unverändert.

3

Rechnen mit drei Vektoren

AFB II

Gegeben sind die drei Vektoren

\[ \vec{a} = \begin{pmatrix} 4 \\ 3 \end{pmatrix} \qquad \vec{b} = \begin{pmatrix} 9 \\ 12 \end{pmatrix} \qquad \vec{c} = \begin{pmatrix} -20 \\ 21 \end{pmatrix} \]

Diese Vektoren sind zu groß, um sie noch bequem zu zeichnen — genau dafür gibt es die komponentenweise Rechnung.

  1. Berechne \(\vec{a} + \vec{b}\).
  2. Berechne \(\vec{a} + \vec{c}\) und \(\vec{b} + \vec{c}\).
  3. Prüfe an einem der drei Ergebnisse, dass die Reihenfolge der Summanden keine Rolle spielt, und begründe das mit der komponentenweisen Rechnung.
Hinweis zu Aufgabe a)
Obere Zahl plus obere Zahl, untere Zahl plus untere Zahl. Schreibe den Zwischenschritt \(\begin{pmatrix}4+9\\3+12\end{pmatrix}\) ruhig auf — so siehst du sofort, ob du eine Zeile vertauscht hast.
Hinweis zu Aufgabe b)
Hier kommen negative Zahlen vor. Setze sie beim Addieren in Klammern: \(4 + (-20)\).Ein negativer \(x\)-Anteil zeigt nach links. Bei \(\vec{a} + \vec{c}\) gewinnt der Anteil von \(\vec{c}\), das Ergebnis zeigt also nach links oben.
Hinweis zu Aufgabe c)
Rechne dasselbe Beispiel noch einmal, aber vertausche die beiden Vektoren. In jeder Zeile steht am Ende eine ganz normale Addition zweier Zahlen — was weißt du über deren Reihenfolge?
Erwartungshorizont zu Aufgabe a)

\( \vec{a} + \vec{b} = \begin{pmatrix} 4 \\ 3 \end{pmatrix} + \begin{pmatrix} 9 \\ 12 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 4 + 9 \\ 3 + 12 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 13 \\ 15 \end{pmatrix} \)

Erwartungshorizont zu Aufgabe b)

\( \vec{a} + \vec{c} = \begin{pmatrix} 4 \\ 3 \end{pmatrix} + \begin{pmatrix} -20 \\ 21 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 4 + (-20) \\ 3 + 21 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -16 \\ 24 \end{pmatrix} \)

\( \vec{b} + \vec{c} = \begin{pmatrix} 9 \\ 12 \end{pmatrix} + \begin{pmatrix} -20 \\ 21 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 9 + (-20) \\ 12 + 21 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -11 \\ 33 \end{pmatrix} \)

Beide Ergebnisse haben eine negative \(x\)-Koordinate: Die Verschiebung geht nach links oben.

Erwartungshorizont zu Aufgabe c)

Probe am Beispiel \(\vec{a} + \vec{c}\):

\( \vec{c} + \vec{a} = \begin{pmatrix} -20 \\ 21 \end{pmatrix} + \begin{pmatrix} 4 \\ 3 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -20 + 4 \\ 21 + 3 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -16 \\ 24 \end{pmatrix} \)

Es kommt dasselbe heraus wie bei \(\vec{a} + \vec{c}\).

Begründung: Beim komponentenweisen Addieren zerfällt die Vektoraddition in zwei ganz gewöhnliche Additionen von Zahlen — eine in der \(x\)-Zeile, eine in der \(y\)-Zeile. Für Zahlen gilt aber \(m + n = n + m\). Also gilt auch

\[ \vec{a} + \vec{c} = \begin{pmatrix} a_x + c_x \\ a_y + c_y \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} c_x + a_x \\ c_y + a_y \end{pmatrix} = \vec{c} + \vec{a} \]

Zeichnerisch sieht man dasselbe am Parallelogramm: Ob man erst \(\vec{a}\) und dann \(\vec{c}\) anhängt oder umgekehrt — man läuft einmal die eine, einmal die andere Seite des Parallelogramms entlang und kommt in derselben Ecke an.

4

Zwei Schlepper, ein Schiff

AFB II

Ein Schiff wird von zwei Schleppern aus dem Hafen gezogen. Am selben Angriffspunkt greifen die beiden Kräfte

\[ \vec{F}_1 = \begin{pmatrix} 9\,\mathrm{kN} \\ 9\,\mathrm{kN} \end{pmatrix} \qquad \vec{F}_2 = \begin{pmatrix} 14\,\mathrm{kN} \\ -3\,\mathrm{kN} \end{pmatrix} \]

an (Material M3). Die \(x\)-Achse zeigt dabei in die gewünschte Fahrtrichtung, die \(y\)-Achse quer dazu.

M3Zwei Schlepper ziehen ein Schiff
F₁ = (9 kN | 9 kN) F₂ = (14 kN | −3 kN) x (Fahrtrichtung) y (quer) Angriffspunkt

Die beiden Kraftpfeile sind maßstäblich gezeichnet: \(\vec{F}_1\) zieht schräg nach rechts oben, \(\vec{F}_2\) länger, aber schräg nach rechts unten.

  1. Berechne die resultierende Kraft \(\vec{F}_{Res}\), mit der das Schiff gezogen wird.
  2. Deute die beiden Koordinaten des Ergebnisses physikalisch.
  3. Erläutere, warum sich die \(y\)-Anteile der beiden Kräfte teilweise aufheben.
Hinweis zu Aufgabe a)
Nichts Neues: obere Zeile zu oberer Zeile, untere zu unterer. Die Einheit kN schreibst du einfach mit.
Hinweis zu Aufgabe b)
Die \(x\)-Achse zeigt in die gewünschte Fahrtrichtung. Was bedeutet dann eine Kraft, die noch eine \(y\)-Koordinate übrig hat?
Hinweis zu Aufgabe c)
Vergleiche die Vorzeichen der beiden \(y\)-Koordinaten. Erinnere dich an Fall 2 aus Kapitel 2.2.2: Was passiert, wenn zwei Kräfte entgegengesetzt ziehen?Die komponentenweise Addition erledigt die drei Fälle aus 2.2.2 gleich mit: In jeder Zeile steht für sich genommen entweder eine Addition (gleiche Richtung) oder eine Subtraktion (entgegengesetzte Richtung).
Erwartungshorizont zu Aufgabe a)

\[ \vec{F}_{Res} = \vec{F}_1 + \vec{F}_2 = \begin{pmatrix} 9\,\mathrm{kN} \\ 9\,\mathrm{kN} \end{pmatrix} + \begin{pmatrix} 14\,\mathrm{kN} \\ -3\,\mathrm{kN} \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 9\,\mathrm{kN} + 14\,\mathrm{kN} \\ 9\,\mathrm{kN} + (-3\,\mathrm{kN}) \end{pmatrix} \]

\[ \vec{F}_{Res} = \begin{pmatrix} 23\,\mathrm{kN} \\ 6\,\mathrm{kN} \end{pmatrix} \]

Erwartungshorizont zu Aufgabe b)

\(x\)-Koordinate (23 kN): Das ist der Vortrieb — der Anteil der Kraft, der das Schiff tatsächlich in die gewünschte Fahrtrichtung zieht. Er ist mit Abstand der größere Anteil.

\(y\)-Koordinate (6 kN): Das ist die seitliche Abweichung — der Anteil quer zur Fahrtrichtung. Er ist positiv, das Schiff wird also zusätzlich ein Stück zur Seite gezogen und fährt nicht genau geradeaus. Wollte man das vermeiden, müssten die Schlepper ihre Kräfte so wählen, dass sich die \(y\)-Anteile vollständig aufheben.

Noch offen: Wie stark das Schiff insgesamt gezogen wird — also der Betrag \(|\vec{F}_{Res}|\) in kN — lässt sich aus dem Zahlenpaar noch nicht direkt ablesen. Dazu braucht man den Satz des Pythagoras aus dem nächsten Kapitel 2.2.4 Der Betrag eines Vektors.

Erwartungshorizont zu Aufgabe c)

Die beiden \(y\)-Koordinaten haben verschiedene Vorzeichen: \(\vec{F}_1\) zieht mit \(+9\,\mathrm{kN}\) zur einen Seite, \(\vec{F}_2\) mit \(-3\,\mathrm{kN}\) zur anderen. In der \(y\)-Zeile ziehen die Schlepper also gegeneinander — genau der Fall 2 aus Kapitel 2.2.2.

Die Addition erledigt das automatisch, weil ein Minuszeichen beim Addieren wie eine Subtraktion wirkt:

\( 9\,\mathrm{kN} + (-3\,\mathrm{kN}) = 9\,\mathrm{kN} - 3\,\mathrm{kN} = 6\,\mathrm{kN} \)

Von den 9 kN Querzug bleiben also nur 6 kN übrig; 3 kN werden von \(\vec{F}_2\) „weggezogen“. In der \(x\)-Zeile passiert das Gegenteil: Dort haben beide Kräfte dasselbe Vorzeichen, sie unterstützen sich, und die Beträge addieren sich zu 23 kN. Ein einziger Rechenweg deckt beide Fälle ab — das Vorzeichen entscheidet.

5

Warum darf man einfach komponentenweise addieren?

AFB III

Im Hefter stehen zwei Wege zur resultierenden Kraft: die Parallelogramm-Konstruktion aus Kapitel 2.2.2 und die komponentenweise Addition aus diesem Kapitel. Ein Mitschüler behauptet, das könnten gar nicht dieselben Ergebnisse sein: „Beim Zeichnen kommt doch immer etwas Krummes heraus, beim Rechnen dagegen eine glatte Zahl.“

Untersuche die Behauptung an den beiden Kräften \(\vec{F}_1 = \begin{pmatrix}2\\3\end{pmatrix}\) und \(\vec{F}_2 = \begin{pmatrix}1\\4\end{pmatrix}\). Benutze dazu das leere Koordinatensystem in Material M4.

M4Koordinatensystem für beide Wege
−2−1123456−2−112345678xy Gegeben F₁ = (2 | 3) F₂ = (1 | 4) Weg 1: Parallelogramm Weg 2: Spitze an Fuß

Beide Wege werden in dasselbe Koordinatensystem gezeichnet — nur so lässt sich vergleichen, wo sie enden.

  1. Zeichne beide Wege in das Koordinatensystem M4: einmal als Parallelogramm (beide Kräfte vom Ursprung aus, dazu die beiden Parallelen), einmal, indem du \(\vec{F}_2\) an die Spitze von \(\vec{F}_1\) setzt.
  2. Erkläre, warum bei beiden Wegen derselbe Endpunkt herauskommt.
  3. Beurteile die Behauptung des Mitschülers.
Hinweis zu Aufgabe a)
Beginne beide Wege im Ursprung, dann liegen sie übereinander und lassen sich vergleichen. Zähle beim Zeichnen Kästchen, statt zu messen.
Hinweis zu Aufgabe b)
Schau dir die gestrichelte Parallele zu \(\vec{F}_2\) im Parallelogramm genau an: Wie lang ist sie, wohin zeigt sie — und welcher Vektor ist das folglich?Schritt 1 der Zeichenanleitung sagt, dass der Anfangspunkt frei wählbar ist. Genau deshalb darf dieselbe Verschiebung an zwei verschiedenen Stellen der Zeichnung auftauchen.
Hinweis zu Aufgabe c)
Trenne zwei Fragen: Kommt beim Zeichnen ein anderes Ergebnis heraus — oder nur ein ungenauer gemessenes?
Erwartungshorizont zu Aufgabe a)

Weg 1 (Parallelogramm): \(\vec{F}_1\) vom Ursprung zum Punkt \((2|3)\), \(\vec{F}_2\) vom Ursprung zum Punkt \((1|4)\). Vom Endpunkt von \(\vec{F}_1\) die Parallele zu \(\vec{F}_2\) ziehen, vom Endpunkt von \(\vec{F}_2\) die Parallele zu \(\vec{F}_1\). Beide Parallelen schneiden sich im Punkt \((3|7)\); die Diagonale vom Ursprung dorthin ist \(\vec{F}_{Res}\).

Weg 2 (Spitze an Fuß): \(\vec{F}_1\) vom Ursprung zum Punkt \((2|3)\), dann \(\vec{F}_2\) mit seinem Anfangspunkt an diese Spitze setzen: von \((2|3)\) aus 1 nach rechts und 4 nach oben, also bis \((3|7)\). Der Pfeil vom Ursprung nach \((3|7)\) ist wieder \(\vec{F}_{Res}\).

Beide Wege enden im Punkt \((3|7)\), also

\[ \vec{F}_{Res} = \begin{pmatrix} 2 \\ 3 \end{pmatrix} + \begin{pmatrix} 1 \\ 4 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 3 \\ 7 \end{pmatrix} \]

Erwartungshorizont zu Aufgabe b)

Setzt man \(\vec{F}_2\) an die Spitze von \(\vec{F}_1\), so geht man erst 2 nach rechts und 3 nach oben, dann 1 nach rechts und 4 nach oben. Insgesamt sind das \(2 + 1 = 3\) Schritte nach rechts und \(3 + 4 = 7\) Schritte nach oben. Genau diese beiden Summen berechnet die komponentenweise Addition.

Im Parallelogramm ist die gestrichelte Parallele zu \(\vec{F}_2\) genau derselbe Vektor \(\vec{F}_2\) — gleich lang, gleich gerichtet, nur an einer anderen Stelle gezeichnet. Erlaubt ist das durch Schritt 1 der Zeichenanleitung: Der Anfangspunkt ist frei wählbar. Der zweite Weg steckt also bereits im ersten drin; die Diagonale des Parallelogramms endet deshalb zwangsläufig im selben Punkt \((3|7)\).

Erwartungshorizont zu Aufgabe c)

Die Behauptung ist falsch. Der Unterschied zwischen beiden Wegen liegt nicht im Ergebnis, sondern in der Genauigkeit.

Die Zeichnung liefert dasselbe Ergebnis \(\begin{pmatrix}3\\7\end{pmatrix}\) — aber nur so genau, wie man zeichnen und messen kann. Ein halber Millimeter Ungenauigkeit beim Anlegen des Geodreiecks, eine leicht schiefe Parallele, ein ungenau abgelesener Wert: Schon liest man \((2{,}9|7{,}1)\) ab. Der „krumme“ Wert entsteht also nicht dadurch, dass die Konstruktion etwas anderes berechnet, sondern durch die Messfehler beim Zeichnen und Ablesen.

Die Rechnung dagegen liefert das Ergebnis exakt, weil sie nur ganze Zahlen addiert. Deshalb gilt: Sobald die Koordinaten bekannt sind, rechnet man. Die Konstruktion bleibt trotzdem wichtig — sie zeigt, warum die Rechnung funktioniert.

NachschlagenZurück zur ErklärungZeichenanleitung, Spaltenschreibweise und komponentenweise Addition.Weiter2.2.4 Der Betrag eines VektorsWie lang ist der Pfeil? Pythagoras macht aus zwei Koordinaten eine Zahl.