Textaufgaben: Mehrere Kräfte zusammensetzen

Beträge aus dem Maßstab:

\(F_1 = 1{,}5\,\mathrm{cm} \cdot 20\,\frac{\mathrm{kN}}{\mathrm{cm}} = 30\,\mathrm{kN}\)  ·  \(F_2 = 2{,}7\,\mathrm{cm} \cdot 20\,\frac{\mathrm{kN}}{\mathrm{cm}} = 54\,\mathrm{kN}\)

Beide Kräfte wirken in die gleiche Richtung — das ist Fall 1, also wird addiert:

\(F_R = F_1 + F_2 = 30\,\mathrm{kN} + 54\,\mathrm{kN} = \mathbf{84\,\mathrm{kN}}\)

Die resultierende Kraft zieht den Waggon mit 84 kN nach rechts. In der Zeichnung wäre ihr Pfeil \(84 : 20 = 4{,}2\,\mathrm{cm}\) lang.

\(F_1 = 2{,}4\,\mathrm{cm} \cdot 20\,\frac{\mathrm{kN}}{\mathrm{cm}} = 48\,\mathrm{kN}\) (nach links)  ·  \(F_2 = 1{,}8\,\mathrm{cm} \cdot 20\,\frac{\mathrm{kN}}{\mathrm{cm}} = 36\,\mathrm{kN}\) (nach rechts)

Die Kräfte wirken in entgegengesetzte Richtung — das ist Fall 2, also wird die kleinere von der größeren abgezogen:

\(F_R = F_1 - F_2 = 48\,\mathrm{kN} - 36\,\mathrm{kN} = \mathbf{12\,\mathrm{kN}}\)

Richtung: Die resultierende Kraft zeigt in Richtung der größeren Kraft, hier also nach links. Die linke Mannschaft gewinnt, aber nur mit 12 kN — einem Viertel dessen, was sie selbst aufbringt.

Zögen beide Mannschaften gleich stark, wäre \(F_1 = F_2\) und damit

\(F_R = F_1 - F_2 = 0\,\mathrm{N}\).

Die beiden Kräfte heben sich vollständig auf: Es bewegt sich nichts. Das Band in der Mitte bleibt an derselben Stelle, obwohl beide Mannschaften mit voller Kraft ziehen. Genau das ist die Aussage aus dem Hefter: Sind beide Kräfte gleich groß, so ist die resultierende Kraft gleich Null.

Man ergänzt die beiden Kraftpfeile durch gestrichelte Parallelen zu einem Parallelogramm:

(1) \(\vec{F}_1\) und \(\vec{F}_2\) maßstabsgetreu vom gemeinsamen Angriffspunkt aus zeichnen. (2) Vom Endpunkt von \(\vec{F}_1\) eine Parallele zu \(\vec{F}_2\) ziehen. (3) Vom Endpunkt von \(\vec{F}_2\) eine Parallele zu \(\vec{F}_1\) ziehen. (4) Die beiden Parallelen schneiden sich in der vierten Ecke; die Diagonale vom gemeinsamen Angriffspunkt zu dieser Ecke ist die resultierende Kraft \(\vec{F}_R\).

Die Diagonale misst \(8\,\mathrm{cm}\). Mit dem Maßstab \(1\,\mathrm{cm} \;\widehat{=}\; 30\,\mathrm{kN}\) folgt

\(F_R = 8\,\mathrm{cm} \cdot 30\,\frac{\mathrm{kN}}{\mathrm{cm}} = \mathbf{240\,\mathrm{kN}}\).

Diese eine Kraft hätte dieselbe Wirkung auf das Schiff wie beide Schlepper zusammen. Sie zeigt in Richtung der Diagonalen — also zwischen den beiden Zugrichtungen hindurch.

Gemessen: \(F_1 \approx 4{,}0\,\mathrm{cm} \;\widehat{=}\; 120\,\mathrm{kN}\) und \(F_2 \approx 4{,}6\,\mathrm{cm} \;\widehat{=}\; 138\,\mathrm{kN}\). Die Summe der Beträge wäre \(120\,\mathrm{kN} + 138\,\mathrm{kN} = 258\,\mathrm{kN}\), die resultierende Kraft beträgt aber nur \(240\,\mathrm{kN}\).

Begründung: Die beiden Schlepper ziehen nicht in dieselbe Richtung. Nur der Anteil, der in Richtung der Diagonalen zeigt, addiert sich vollständig; die quer dazu gerichteten Anteile zeigen einander entgegen und heben sich teilweise auf. Deshalb ist die Diagonale des Parallelogramms stets kürzer als die beiden Seiten zusammen. Nur im Grenzfall \(\alpha = 0^\circ\) — beide Schlepper ziehen parallel — entartet das Parallelogramm zu einer Strecke und es gilt \(F_R = F_1 + F_2\).

Kontrolle mit der Formel: \(F_R = \sqrt{120^2 + 138^2 + 2 \cdot 138 \cdot 120 \cdot \cos 45^\circ}\,\mathrm{kN} \approx 238\,\mathrm{kN}\) — das passt im Rahmen der Zeichengenauigkeit zu den abgelesenen 240 kN.

In a), b) und c) wird jeweils ein Parallelogramm konstruiert: Vom Endpunkt jedes Kraftpfeils wird eine gestrichelte Parallele zum anderen Kraftpfeil gezogen. Die rote Diagonale vom gemeinsamen Angriffspunkt zum Schnittpunkt der Parallelen ist die resultierende Kraft.

Auffällig: Je größer der Winkel zwischen den Kräften, desto kürzer die Diagonale. In a) (spitzer Winkel) ist \(F_R\) noch fast so lang wie beide Pfeile zusammen, in c) (sehr stumpfer Winkel) ist sie deutlich kürzer als in a).

In d) liegen beide Kräfte auf einer Geraden. Die Parallele zu einer Kraft ist dann dieselbe Gerade — das „Parallelogramm“ hat keine Fläche mehr, es entartet zu einer Strecke.

Man addiert deshalb einfach die Längen: \(F_R = F_1 + F_2\). Das ist genau Fall 1 aus dem Hefter. Die Parallelogramm-Konstruktion widerspricht ihm nicht, sie enthält ihn als Grenzfall.

Vorgehen: Man fasst zuerst zwei der drei Kräfte mit einem Parallelogramm zu einer Zwischenresultierenden zusammen. Diese Zwischenresultierende bildet danach mit der dritten Kraft ein zweites Parallelogramm; dessen Diagonale ist die gesuchte resultierende Kraft aller drei Kräfte.

Begründung zur Reihenfolge: Die Reihenfolge der Zusammenfassung ist beliebig, das Ergebnis ist immer dasselbe. Denn jede Zwischenresultierende ersetzt die zusammengefassten Kräfte in ihrer Wirkung vollständig — die Gesamtwirkung aller drei Kräfte kann sich dadurch nicht ändern. Wer in e) erst \(\vec{F}_1\) mit \(\vec{F}_2\) zusammenfasst und dann \(\vec{F}_3\) hinzunimmt, erhält dieselbe Diagonale wie jemand, der mit \(\vec{F}_2\) und \(\vec{F}_3\) beginnt.

(1) → Fall 1 (gleiche Richtung)  ·  (2) → Fall 2 (entgegengesetzt)  ·  (3) → Fall 3 (beliebiger Winkel, Parallelogramm)  ·  (4) → Fall 2 (entgegengesetzt)

(1) Fall 1: \(F_R = 800\,\mathrm{N} + 800\,\mathrm{N} = \mathbf{1600\,\mathrm{N}}\) in Zugrichtung der beiden Pferde.

(2) Fall 2: \(F_R = 900\,\mathrm{N} - 900\,\mathrm{N} = \mathbf{0\,\mathrm{N}}\). Die Kräfte heben sich auf, es bewegt sich nichts — eine Richtung gibt es hier nicht.

(4) Fall 2: \(F_R = 1000\,\mathrm{N} - 400\,\mathrm{N} = \mathbf{600\,\mathrm{N}}\) in Richtung der Zugkraft. Der Bremsklotz verringert die Wirkung, hebt sie aber nicht auf.

(3) Fall 3 — zeichnerisch das Parallelogramm, rechnerisch:

\(F_R = \sqrt{(30\,\mathrm{kN})^2 + (30\,\mathrm{kN})^2 + 2 \cdot 30\,\mathrm{kN} \cdot 30\,\mathrm{kN} \cdot \cos 60^\circ}\)

\(F_R = \sqrt{900 + 900 + 900}\;\mathrm{kN} = \sqrt{2700}\;\mathrm{kN} \approx \mathbf{51{,}96\,\mathrm{kN}}\)

Plausibilität: Der Wert liegt zwischen 30 kN (eine Kraft allein) und 60 kN (beide in gleicher Richtung) — genau dort, wo er bei einem Winkel von 60° liegen muss.

Aus \(\cos(\alpha) = \dfrac{x}{F_1}\) folgt \(\;x = F_1 \cdot \cos(\alpha)\).

Aus \(\sin(\alpha) = \dfrac{y}{F_1}\) folgt \(\;y = F_1 \cdot \sin(\alpha)\).

\(x\) ist also der Anteil von \(\vec{F}_1\) in Richtung von \(\vec{F}_2\), \(y\) der Anteil senkrecht dazu.

Das große Dreieck hat die Katheten \(F_2 + x\) und \(y\) sowie die Hypotenuse \(F_R\). Der Satz des Pythagoras liefert

\(F_R^2 = (F_2 + x)^2 + y^2 = (F_2 + F_1\cos\alpha)^2 + (F_1\sin\alpha)^2\)

Ausmultiplizieren mit der binomischen Formel:

\(F_R^2 = F_2^2 + 2\,F_2 F_1 \cos\alpha + F_1^2\cos^2\alpha + F_1^2\sin^2\alpha\)

Ausklammern von \(F_1^2\) in den beiden letzten Summanden:

\(F_R^2 = F_2^2 + 2\,F_2 F_1 \cos\alpha + F_1^2\,\underbrace{(\cos^2\alpha + \sin^2\alpha)}_{=\,1}\)

\(F_R^2 = F_2^2 + F_1^2 + 2\,F_2 F_1 \cos\alpha\)

Da \(F_R\) als Betrag einer Kraft nicht negativ ist, darf die Wurzel gezogen werden:

\(F_R = \sqrt{F_1^2 + F_2^2 + 2 \cdot F_2 \cdot F_1 \cdot \cos\alpha}\)  ∎

Fall \(\alpha = 0^\circ\): Es ist \(\cos 0^\circ = 1\), also

\(F_R = \sqrt{F_1^2 + F_2^2 + 2F_1F_2} = \sqrt{(F_1+F_2)^2} = F_1 + F_2\)

Das ist genau Fall 1 aus dem Hefter: gleiche Richtung, die Beträge werden addiert.

Fall \(\alpha = 180^\circ\): Es ist \(\cos 180^\circ = -1\), also

\(F_R = \sqrt{F_1^2 + F_2^2 - 2F_1F_2} = \sqrt{(F_1-F_2)^2} = |F_1 - F_2|\)

Das ist genau Fall 2: entgegengesetzte Richtung, die kleinere Kraft wird von der größeren abgezogen. Der Betragsstrich sorgt dafür, dass nie eine negative Kraft herauskommt — und für \(F_1 = F_2\) ergibt sich \(F_R = 0\).

Fazit: Die allgemeine Formel enthält beide Sonderfälle. Es gibt also nicht drei verschiedene Regeln, sondern eine einzige — Fall 1 und Fall 2 sind nur die beiden Extremwerte des Winkels.