Textaufgaben
Fünf Aufgaben aus den Arbeitsblättern Kräfteaddition – Vektoren und Rechnen mit Vektoren – Anwendungen: Zwei gleich große Schüler tragen eine Tasche, danach zwei unterschiedlich große. Es folgen ein Auto auf Kurs O35°N, zwei Schlepper, die ein liegengebliebenes Schiff ziehen, und zum Schluss ein Hubschrauber, der in Wind gerät — samt einem Kräftemessen zwischen Pferden und Stieren. Zu jeder Teilaufgabe gibt es einen Hinweis und einen Erwartungshorizont — öffne den Erwartungshorizont erst, wenn du deine eigene Lösung aufgeschrieben hast.
Zwei gleich große Schüler tragen eine Tasche
AFB IIZwei gleich große Schüler tragen gemeinsam eine Tasche. Jeder wendet dabei eine Kraft von 200 N auf, das heißt \( |\vec{F}_1| = |\vec{F}_2| = 200\,\mathrm{N} \). Zwischen den angreifenden Kräften besteht ein Winkel von 90°. Weil beide Schüler gleich groß sind, ist die Anordnung symmetrisch: Jede der beiden Kräfte schließt mit der Senkrechten einen Winkel von 45° ein (Material M1).
Der rechte Winkel zwischen \( \vec{F}_1 \) und \( \vec{F}_2 \) ist als Viertelkreisbogen mit Punkt markiert. Wegen der Symmetrie liegt jede Kraft 45° neben der Senkrechten.
- Bestimme zeichnerisch die Gewichtskraft der Tasche. Verwende den Maßstab 200 N ≙ 2,5 cm.
- Ermittle nun die Masse der Tasche. Arbeite mit der Formel \( F_G = m \cdot g \) und \( g = 9{,}81\,\frac{\mathrm{m}}{\mathrm{s}^2} \).
- Bestimme die Vektoren \( \vec{F}_1 \) und \( \vec{F}_2 \). Nutze dafür die Winkelfunktionen Sinus und Cosinus.
- Bestimme die Gewichtskraft \( \vec{F}_G \) und anschließend die Masse \(m\) der Tasche. Addiere dafür zunächst die Vektoren \( \vec{F}_1 \) und \( \vec{F}_2 \).
Hinweis zu Aufgabe a)
Hinweis zu Aufgabe b)
Hinweis zu Aufgabe c)
Hinweis zu Aufgabe d)
Erwartungshorizont zu Aufgabe a)
Es gilt \( |\vec{F}_1| = |\vec{F}_2| \;\hat{=}\; 200\,\mathrm{N} \;\hat{=}\; 2{,}5\,\mathrm{cm} \). Die konstruierte Resultierende misst \( |\vec{F}_R| \;\hat{=}\; 3{,}6\,\mathrm{cm} \).
Über den Dreisatz:
\( \dfrac{200\,\mathrm{N}}{2{,}5\,\mathrm{cm}} = \dfrac{x}{3{,}6\,\mathrm{cm}} \;\Rightarrow\; x = \dfrac{200\,\mathrm{N}}{2{,}5\,\mathrm{cm}} \cdot 3{,}6\,\mathrm{cm} = 288\,\mathrm{N} \)
Die Gewichtskraft der Tasche beträgt also rund \( 288\,\mathrm{N} \).
Erwartungshorizont zu Aufgabe b)
\( F_G = m \cdot g \;\Rightarrow\; m = \dfrac{F_G}{g} = \dfrac{288\,\mathrm{N}}{9{,}81\,\frac{\mathrm{m}}{\mathrm{s}^2}} \approx 29{,}36\,\mathrm{kg} \)
Einheitenkontrolle: \( \frac{\mathrm{N}}{\mathrm{m}/\mathrm{s}^2} = \frac{\mathrm{kg}\cdot\mathrm{m}/\mathrm{s}^2}{\mathrm{m}/\mathrm{s}^2} = \mathrm{kg} \) — passt.
Erwartungshorizont zu Aufgabe c)
\( \sin(45^\circ) = \dfrac{x_1}{|\vec{F}_1|} \;\Rightarrow\; x_1 = \sin(45^\circ) \cdot 200\,\mathrm{N} \approx 141{,}42\,\mathrm{N} \)
\( \cos(45^\circ) = \dfrac{y_1}{|\vec{F}_1|} \;\Rightarrow\; y_1 = \cos(45^\circ) \cdot 200\,\mathrm{N} \approx 141{,}42\,\mathrm{N} \)
Für die Vektoren folgt also — der linke Schüler zieht nach links, deshalb steht dort ein Minus:
\( \vec{F}_1 = \begin{pmatrix} -141{,}42 \\ 141{,}42 \end{pmatrix} \mathrm{N} \qquad \vec{F}_2 = \begin{pmatrix} 141{,}42 \\ 141{,}42 \end{pmatrix} \mathrm{N} \)
Erwartungshorizont zu Aufgabe d)
\( \vec{F}_1 + \vec{F}_2 = \begin{pmatrix} -141{,}42 \\ 141{,}42 \end{pmatrix}\mathrm{N} + \begin{pmatrix} 141{,}42 \\ 141{,}42 \end{pmatrix}\mathrm{N} = \begin{pmatrix} 0 \\ 282{,}84 \end{pmatrix} \mathrm{N} \)
Die beiden Schüler halten die Tasche, also ist die Gewichtskraft genau entgegengesetzt gerichtet:
\( \vec{F}_G = \begin{pmatrix} 0 \\ -282{,}84 \end{pmatrix} \mathrm{N} \)
Der Betrag von \( \vec{F}_G \) ist \( |\vec{F}_G| = \sqrt{(0\,\mathrm{N})^2 + (-282{,}84\,\mathrm{N})^2} = 282{,}84\,\mathrm{N} \).
Die Masse der Tasche ist somit \( m = \dfrac{F_G}{g} = \dfrac{282{,}84\,\mathrm{N}}{9{,}81\,\frac{\mathrm{m}}{\mathrm{s}^2}} \approx 28{,}83\,\mathrm{kg} \).
Vergleich mit a) und b): Zeichnerisch kam \( 29{,}36\,\mathrm{kg} \) heraus, gerechnet \( 28{,}83\,\mathrm{kg} \). Der Unterschied entsteht allein durch die Messungenauigkeit beim Ablesen der 3,6 cm — ein halber Millimeter mehr oder weniger schlägt hier schon mit mehreren Newton zu Buche. Die Rechnung ist deshalb der genauere Weg.
Zwei unterschiedlich große Schüler
AFB IIINun tragen zwei unterschiedlich große Schüler gemeinsam eine zweite Tasche. Aufgrund des Größenunterschieds entsteht ein Winkel von 55,5° zwischen den unterschiedlich stark angreifenden Kräften \( |\vec{F}_1| = 269{,}1\,\mathrm{N} \) und \( |\vec{F}_2| = 180{,}3\,\mathrm{N} \). Zur Senkrechten gemessen beträgt der Winkel des linken Schülers \( \alpha \approx 21{,}8^\circ \) und der des rechten \( \beta \approx 33{,}7^\circ \) (Material M2).
Beide Winkel werden von der gestrichelten Senkrechten aus gemessen. Zusammen ergeben sie den Winkel von 55,5° zwischen den beiden Kräften.
- Bestimme die Vektoren \( \vec{F}_1 \) und \( \vec{F}_2 \). Runde die Ergebnisse jeweils auf eine ganze Zahl.
- Bestimme nun rechnerisch die Gewichtskraft \( \vec{F}_G \) der zweiten Tasche und daraus die Masse.
- Zusatzaufgabe: Die zwei unterschiedlich großen Schüler tragen eine zweite Tasche der Masse 50 Kilogramm. Der Winkel zwischen den Schülern bleibt derselbe. Bestimme die Kräfte, mit der die Schüler ziehen. (Ergebnis zur Kontrolle: \( |\vec{F}_1| = 330{,}2\,\mathrm{N} \), \( |\vec{F}_2| = 221{,}1\,\mathrm{N} \))
Hinweis zu Aufgabe a)
Hinweis zu Aufgabe b)
Hinweis zu Aufgabe c)
Erwartungshorizont zu Aufgabe a)
Linker Schüler \( (\alpha \approx 21{,}8^\circ) \):
\( \sin(21{,}8^\circ) = \dfrac{x_1}{269{,}1\,\mathrm{N}} \;\Rightarrow\; x_1 = \sin(21{,}8^\circ) \cdot 269{,}1\,\mathrm{N} \approx 100\,\mathrm{N} \)
\( \cos(21{,}8^\circ) = \dfrac{y_1}{269{,}1\,\mathrm{N}} \;\Rightarrow\; y_1 = \cos(21{,}8^\circ) \cdot 269{,}1\,\mathrm{N} \approx 250\,\mathrm{N} \)
Für den Vektor folgt also \( \vec{F}_1 = \begin{pmatrix} -100 \\ 250 \end{pmatrix} \mathrm{N} \).
Rechter Schüler \( (\beta \approx 33{,}7^\circ) \):
\( \sin(33{,}7^\circ) = \dfrac{x_2}{180{,}3\,\mathrm{N}} \;\Rightarrow\; x_2 = \sin(33{,}7^\circ) \cdot 180{,}3\,\mathrm{N} \approx 100\,\mathrm{N} \)
\( \cos(33{,}7^\circ) = \dfrac{y_2}{180{,}3\,\mathrm{N}} \;\Rightarrow\; y_2 = \cos(33{,}7^\circ) \cdot 180{,}3\,\mathrm{N} \approx 150\,\mathrm{N} \)
Für den Vektor folgt also \( \vec{F}_2 = \begin{pmatrix} 100 \\ 150 \end{pmatrix} \mathrm{N} \).
Erwartungshorizont zu Aufgabe b)
\( \vec{F}_1 + \vec{F}_2 = \begin{pmatrix} -100 \\ 250 \end{pmatrix}\mathrm{N} + \begin{pmatrix} 100 \\ 150 \end{pmatrix}\mathrm{N} = \begin{pmatrix} 0 \\ 400 \end{pmatrix} \mathrm{N} \;\Rightarrow\; \vec{F}_G = \begin{pmatrix} 0 \\ -400 \end{pmatrix} \mathrm{N} \)
Der Betrag ist \( |\vec{F}_G| = 400\,\mathrm{N} \), somit folgt für die Masse
\( m = \dfrac{F_G}{g} = \dfrac{400\,\mathrm{N}}{9{,}81\,\frac{\mathrm{m}}{\mathrm{s}^2}} \approx 40{,}8\,\mathrm{kg} \).
Obwohl der größere Schüler mit 269,1 N deutlich stärker zieht als der kleinere mit 180,3 N, sind die waagerechten Anteile beider Kräfte gleich groß (je 100 N) und heben sich auf. Getragen wird die Tasche allein von den senkrechten Anteilen.
Erwartungshorizont zu Aufgabe c)
Es gilt \( F_G = m \cdot g = 50\,\mathrm{kg} \cdot 9{,}81\,\frac{\mathrm{m}}{\mathrm{s}^2} = 490{,}5\,\mathrm{N} \). Aus dem Kräftegleichgewicht folgt
(1) in \(y\)-Richtung: \( \cos(\alpha)\cdot|\vec{F}_1| + \cos(\beta)\cdot|\vec{F}_2| = 490{,}5\,\mathrm{N} \)
(2) in \(x\)-Richtung: \( \sin(\alpha)\cdot|\vec{F}_1| - \sin(\beta)\cdot|\vec{F}_2| = 0\,\mathrm{N} \)
Aus (2) folgt \( |\vec{F}_1| = \dfrac{\sin\beta}{\sin\alpha} \cdot |\vec{F}_2| \). Einsetzen in (1) ergibt
\( \cos(\alpha) \cdot \dfrac{\sin\beta}{\sin\alpha} \cdot |\vec{F}_2| + \cos(\beta)\cdot|\vec{F}_2| = 490{,}5\,\mathrm{N} \)
\( |\vec{F}_2| \cdot \left( \cos\alpha \cdot \dfrac{\sin\beta}{\sin\alpha} + \cos\beta \right) = 490{,}5\,\mathrm{N} \)
Umformen und Einsetzen ergibt
\( |\vec{F}_2| = \dfrac{490{,}5\,\mathrm{N}}{\cos\alpha \cdot \frac{\sin\beta}{\sin\alpha} + \cos\beta} = 221{,}1\,\mathrm{N} \)
Für \( |\vec{F}_1| \) folgt dann aus (2):
\( |\vec{F}_1| = |\vec{F}_2| \cdot \dfrac{\sin\beta}{\sin\alpha} = 330{,}2\,\mathrm{N} \)
Das Auto mit Kurs O35°N
AFB IIEin Auto fährt mit einer Geschwindigkeit von 80 km/h in Richtung O35°N (Ost − 35° − Nord). In der Zeichnung liegt der Winkel von 35° damit an der Nordrichtung, also an der senkrechten Achse (Material M3).
Der Kraft- bzw. Geschwindigkeitspfeil ist die Hypotenuse. Die waagerechte Kathete liegt dem Winkel gegenüber, die senkrechte liegt an ihm an.
- Skizziere das rechtwinklige Dreieck am Geschwindigkeitspfeil und ordne den beiden Katheten zu, welche von ihnen Gegenkathete und welche Ankathete des Winkels von 35° ist.
- Berechne den Vektor \( \vec{v} = \begin{pmatrix} v_1 \\ v_2 \end{pmatrix} \), der die Geschwindigkeit des Autos darstellt.
Hinweis zu Aufgabe a)
Hinweis zu Aufgabe b)
Erwartungshorizont zu Aufgabe a)
Der Geschwindigkeitspfeil ist die Hypotenuse des Dreiecks, sein Betrag ist 80 km/h. Der Winkel von 35° liegt an der senkrechten Achse. Daraus folgt:
• Die waagerechte Kathete (nach Osten) liegt dem Winkel gegenüber — sie ist die Gegenkathete und gehört zum Sinus.
• Die senkrechte Kathete (nach Norden) liegt am Winkel an — sie ist die Ankathete und gehört zum Cosinus.
Der rechte Winkel liegt dort, wo die beiden Katheten aufeinandertreffen — in der Skizze als Viertelkreisbogen mit Punkt markiert.
Erwartungshorizont zu Aufgabe b)
\( \sin(35^\circ) = \dfrac{v_2}{80\,\frac{\mathrm{km}}{\mathrm{h}}} \;\Rightarrow\; v_2 = \sin(35^\circ) \cdot 80\,\frac{\mathrm{km}}{\mathrm{h}} \approx 45{,}9\,\frac{\mathrm{km}}{\mathrm{h}} \)
\( \cos(35^\circ) = \dfrac{v_1}{80\,\frac{\mathrm{km}}{\mathrm{h}}} \;\Rightarrow\; v_1 = \cos(35^\circ) \cdot 80\,\frac{\mathrm{km}}{\mathrm{h}} \approx 65{,}5\,\frac{\mathrm{km}}{\mathrm{h}} \)
\( \Rightarrow\; \vec{v} = \begin{pmatrix} 45{,}9 \\ 65{,}5 \end{pmatrix} \frac{\mathrm{km}}{\mathrm{h}} \)
Anmerkung zur Schreibweise: Im Vektor steht der Sinus-Wert oben und der Cosinus-Wert unten — denn oben steht immer die waagerechte Koordinate, und die ist hier die Gegenkathete. Ob der Sinus-Wert oder der Cosinus-Wert in der oberen Zeile landet, hängt also allein davon ab, von welcher Achse aus der Winkel gemessen wird. Läge derselbe Winkel von 35° an der Ostrichtung, so wäre die waagerechte Koordinate die Ankathete, und das Ergebnis würde \( \begin{pmatrix} 65{,}5 \\ 45{,}9 \end{pmatrix} \frac{\mathrm{km}}{\mathrm{h}} \) lauten. Deshalb gilt immer: erst das Dreieck zeichnen, dann die Winkelfunktion wählen.
Zwei Schlepper ziehen ein Schiff
AFB IIEin auf dem Meer liegengebliebenes Schiff wird von zwei Schleppern gezogen. Schlepper A zieht mit einer Kraft von 20 kN in Richtung N65°O und Schlepper B mit 15 kN in Richtung S80°O. Beide Winkel sind in der Zeichnung von der senkrechten Achse aus abgetragen — der von Schlepper A von der Nordrichtung, der von Schlepper B von der Südrichtung (Material M4).
Schlepper A zieht nach Nordosten, Schlepper B nach Ostsüdost — seine senkrechte Koordinate zeigt daher nach unten und bekommt ein Minuszeichen.
- Bestimme die Kraft von Schlepper A und die Kraft von Schlepper B jeweils als Vektor.
- Berechne die resultierende Kraft als Vektor und deren Betrag.
Hinweis zu Aufgabe a)
Hinweis zu Aufgabe b)
Erwartungshorizont zu Aufgabe a)
Schlepper A (20 kN, N65°O):
\( \sin(65^\circ) = \dfrac{x_A}{20\,\mathrm{kN}} \;\Rightarrow\; x_A = \sin(65^\circ)\cdot 20\,\mathrm{kN} \approx 18{,}17\,\mathrm{kN} \)
\( \cos(65^\circ) = \dfrac{y_A}{20\,\mathrm{kN}} \;\Rightarrow\; y_A = \cos(65^\circ)\cdot 20\,\mathrm{kN} \approx 8{,}45\,\mathrm{kN} \)
\( \Rightarrow\; \vec{F}_A = \begin{pmatrix} 18{,}17 \\ 8{,}45 \end{pmatrix} \mathrm{kN} \)
Schlepper B (15 kN, S80°O):
\( \sin(80^\circ) = \dfrac{x_B}{15\,\mathrm{kN}} \;\Rightarrow\; x_B = \sin(80^\circ)\cdot 15\,\mathrm{kN} \approx 14{,}77\,\mathrm{kN} \)
\( \cos(80^\circ) = \dfrac{y_B}{15\,\mathrm{kN}} \;\Rightarrow\; y_B = \cos(80^\circ)\cdot 15\,\mathrm{kN} \approx 2{,}6\,\mathrm{kN} \)
Schlepper B zieht nach Süden, seine senkrechte Koordinate ist also negativ:
\( \Rightarrow\; \vec{F}_B = \begin{pmatrix} 14{,}77 \\ -2{,}6 \end{pmatrix} \mathrm{kN} \)
Erwartungshorizont zu Aufgabe b)
\( \vec{F} = \vec{F}_A + \vec{F}_B = \begin{pmatrix} 18{,}17 \\ 8{,}45 \end{pmatrix}\mathrm{kN} + \begin{pmatrix} 14{,}77 \\ -2{,}6 \end{pmatrix}\mathrm{kN} = \begin{pmatrix} 32{,}94 \\ 5{,}85 \end{pmatrix} \mathrm{kN} \)
\( |\vec{F}_{res}| = \sqrt{32{,}9^2 + 5{,}85^2}\;\mathrm{kN} \approx 33{,}42\,\mathrm{kN} \)
Anmerkung zur Rundung: In der handschriftlichen Lösung steht für die \(x\)-Koordinate 32,9 kN, weil dort mit \( 18{,}13\,\mathrm{kN} \) statt \( 18{,}17\,\mathrm{kN} \) weitergerechnet wurde. Beide Rundungen führen auf denselben Betrag von rund 33,4 kN — solche kleinen Unterschiede in der zweiten Nachkommastelle sind bei dieser Aufgabe ohne Bedeutung.
Das Schiff wird also mit rund 33,4 kN gezogen — deutlich weniger als die 35 kN, die man erhielte, wenn man die Beträge einfach addierte. Der Grund: Die beiden senkrechten Anteile wirken gegeneinander.
Der Hubschrauber im Wind
AFB IIIEin Hubschrauber bewegt sich mit einer Geschwindigkeit von 280 km/h relativ zur Luft. Der Pilot hat Kurs O30°N eingestellt, als Wind mit 120 km/h in Richtung N60°W aufkommt. Achte in der Zeichnung genau darauf, an welcher Achse der jeweilige Winkel liegt: der Kurswinkel von 30° an der Ostrichtung, der Windwinkel von 60° an der Nordrichtung (Material M5).
Der Kurswinkel von 30° wird von der Ostrichtung aus gemessen, der Windwinkel von 60° von der Nordrichtung. Deshalb tauschen Sinus und Cosinus bei den beiden Vektoren ihre Rollen.
Das mittlere Pferd zieht genau waagerecht, die beiden äußeren jeweils unter 15°. Beide Stiere ziehen unter 45° zur Waagerechten — einer nach oben, einer nach unten.
- Beschreibe den Geschwindigkeitsvektor \( \vec{v} = \begin{pmatrix} v_1 \\ v_2 \end{pmatrix} \) des Helikopters, bevor der Wind ihn erreicht.
- Beschreibe die Windgeschwindigkeit \( \vec{w} = \begin{pmatrix} w_1 \\ w_2 \end{pmatrix} \) als Vektor.
- Bestimme die neue Geschwindigkeit des Hubschraubers als Vektor und deren Betrag nach dem Zusammentreffen mit dem Wind.
- Bestimme den Winkel, unter dem der Hubschrauber nach dem Zusammentreffen mit dem Wind fliegt.
- Zusatzaufgabe: Die Pferde ziehen wie in Material M6 abgebildet nach rechts mit 1,8 kN, zwei Stiere ziehen nach links mit jeweils einer Kraft von 3 kN. Entscheide, wer das Rennen macht, und begründe deine Antwort.
Hinweis zu Aufgabe a)
Hinweis zu Aufgabe b)
Hinweis zu Aufgabe c)
Hinweis zu Aufgabe d)
Hinweis zu Aufgabe e)
Erwartungshorizont zu Aufgabe a)
Der Kurswinkel von 30° liegt an der Ostrichtung. Damit ist die waagerechte Koordinate die Ankathete (Cosinus) und die senkrechte die Gegenkathete (Sinus):
\( v_1 = \cos(30^\circ)\cdot 280\,\frac{\mathrm{km}}{\mathrm{h}} \approx 242{,}5\,\frac{\mathrm{km}}{\mathrm{h}} \)
\( v_2 = \sin(30^\circ)\cdot 280\,\frac{\mathrm{km}}{\mathrm{h}} = 140{,}0\,\frac{\mathrm{km}}{\mathrm{h}} \)
\( \Rightarrow\; \vec{v} = \begin{pmatrix} 242{,}5 \\ 140{,}0 \end{pmatrix} \frac{\mathrm{km}}{\mathrm{h}} \)
Der Hubschrauber fliegt also überwiegend nach Osten und dabei zusätzlich nach Norden.
Erwartungshorizont zu Aufgabe b)
Der Windwinkel von 60° liegt an der Nordrichtung. Damit ist die waagerechte Koordinate die Gegenkathete (Sinus) und die senkrechte die Ankathete (Cosinus):
\( w_1 = -\sin(60^\circ)\cdot 120\,\frac{\mathrm{km}}{\mathrm{h}} \approx -103{,}9\,\frac{\mathrm{km}}{\mathrm{h}} \)
\( w_2 = \cos(60^\circ)\cdot 120\,\frac{\mathrm{km}}{\mathrm{h}} = 60{,}0\,\frac{\mathrm{km}}{\mathrm{h}} \)
\( \Rightarrow\; \vec{w} = \begin{pmatrix} -103{,}9 \\ 60{,}0 \end{pmatrix} \frac{\mathrm{km}}{\mathrm{h}} \)
Das Minuszeichen kommt nicht aus dem Sinus — der ist für 60° positiv —, sondern aus der Richtung: Der Wind weht nach Westen.
Erwartungshorizont zu Aufgabe c)
\( \vec{v}_{neu} = \vec{v} + \vec{w} = \begin{pmatrix} 242{,}5 \\ 140{,}0 \end{pmatrix}\frac{\mathrm{km}}{\mathrm{h}} + \begin{pmatrix} -103{,}9 \\ 60{,}0 \end{pmatrix}\frac{\mathrm{km}}{\mathrm{h}} = \begin{pmatrix} 138{,}6 \\ 200{,}0 \end{pmatrix} \frac{\mathrm{km}}{\mathrm{h}} \)
\( |\vec{v}_{neu}| = \sqrt{138{,}6^2 + 200{,}0^2}\;\frac{\mathrm{km}}{\mathrm{h}} \approx 243{,}3\,\frac{\mathrm{km}}{\mathrm{h}} \)
Der Hubschrauber wird durch den Wind also langsamer (von 280 km/h auf 243,3 km/h) und gleichzeitig deutlich nach Norden abgedrängt.
Erwartungshorizont zu Aufgabe d)
Beide Koordinaten sind bekannt, gesucht ist der Winkel — das leistet der Tangens. Bezogen auf die waagerechte Achse gilt:
\( \tan(\gamma) = \dfrac{200{,}0}{138{,}6} \;\Rightarrow\; \gamma = \tan^{-1}\!\left(\dfrac{200{,}0}{138{,}6}\right) \approx 55{,}3^\circ \)
Der Hubschrauber fliegt nach dem Zusammentreffen mit dem Wind also unter rund 55,3° zur Ostrichtung — vorher waren es 30°. Der Wind hat den Kurs um gut 25° nach Norden gedreht.
Erwartungshorizont zu Aufgabe e)
Da beide Stiere gleich stark ziehen, heben sich die \(y\)-Koordinaten jeweils auf. Wir konzentrieren uns also nur auf die \(x\)-Koordinate:
\( \cos(45^\circ) = \dfrac{x_S}{3\,\mathrm{kN}} \;\Rightarrow\; x_S = \cos(45^\circ)\cdot 3\,\mathrm{kN} \approx 2{,}12\,\mathrm{kN} \)
Für die resultierende Kraft der Stiere folgt \( \vec{F}_S \approx \begin{pmatrix} -4{,}24 \\ 0 \end{pmatrix} \mathrm{kN} \).
Auch bei den Pferden spielt nur die \(x\)-Koordinate eine Rolle, da die Summe der \(y\)-Koordinaten 0 ergibt:
\( \cos(15^\circ) = \dfrac{x_P}{1{,}8\,\mathrm{kN}} \;\Rightarrow\; x_P = 1{,}8\,\mathrm{kN}\cdot\cos(15^\circ) \approx 1{,}739\,\mathrm{kN} \)
Das gilt für die beiden äußeren Pferde; das mittlere Pferd zieht waagerecht mit den vollen 1,8 kN. Für die resultierende Kraft der Pferde folgt
\( \vec{F}_P = \begin{pmatrix} 1{,}739 + 1{,}739 + 1{,}8 \\ 0 \end{pmatrix} \mathrm{kN} = \begin{pmatrix} 5{,}278 \\ 0 \end{pmatrix} \mathrm{kN} \)
Die Pferde machen also das Rennen. Bemerkenswert daran: Die Stiere bringen mit \( 2 \cdot 3\,\mathrm{kN} = 6\,\mathrm{kN} \) mehr Kraft auf als die Pferde mit \( 3 \cdot 1{,}8\,\mathrm{kN} = 5{,}4\,\mathrm{kN} \). Weil sie aber unter 45° ziehen, geht ein großer Teil ihrer Kraft in die senkrechte Richtung und wirkt gegeneinander. Entscheidend ist nicht der Betrag, sondern die Koordinate in Zugrichtung.