Ein größerer Stirlingmotor
AFB IIEin Stirlingmotor arbeitet zwischen \( T_h = 800\ \mathrm K \) und \( T_k = 400\ \mathrm K \). Das Gas wird zwischen \( V_1 = 200\ \mathrm{cm^3} \) und \( V_2 = 600\ \mathrm{cm^3} \) bewegt. Im Zustand 1 (kleines Volumen, heiß) beträgt der Druck \( p_1 = 8\ \mathrm{bar} \).
| Zustand | V in cm³ | p in bar | T in K |
|---|---|---|---|
| 1 | 200 | 8 | 800 |
| 2 | 600 | ? | 800 |
| 3 | 600 | ? | 400 |
| 4 | 200 | ? | 400 |
1→2 und 3→4 sind isotherm, 2→3 und 4→1 sind isochor.
- Berechnen Sie die Drücke in den Zuständen 2, 3 und 4.
- Begründen Sie durch eine Rechnung, dass der Kreisprozess mit Zustand 4 tatsächlich wieder zum Zustand 1 zurückführt.
Hinweis zu Aufgabe a)
Hinweis zu Aufgabe b)
Erwartungshorizont zu Aufgabe a)
1 → 2 (isotherm, 800 K): \( 8\ \mathrm{bar}\cdot 200\ \mathrm{cm^3} = p_2\cdot 600\ \mathrm{cm^3} \Rightarrow \underline{p_2 = 2{,}67\ \mathrm{bar}} \)
2 → 3 (isochor, 600 cm³): \( \tfrac{2{,}67}{800} = \tfrac{p_3}{400} \Rightarrow \underline{p_3 = 1{,}33\ \mathrm{bar}} \)
3 → 4 (isotherm, 400 K): \( 1{,}33\ \mathrm{bar}\cdot 600\ \mathrm{cm^3} = p_4\cdot 200\ \mathrm{cm^3} \Rightarrow \underline{p_4 = 4{,}0\ \mathrm{bar}} \)
Erwartungshorizont zu Aufgabe b)
Der Schritt 4 → 1 ist isochor bei \( 200\ \mathrm{cm^3} \). Es muss also gelten \( \tfrac{p_4}{T_4} = \tfrac{p_1}{T_1} \).
\( \dfrac{4{,}0\ \mathrm{bar}}{400\ \mathrm K} = 0{,}010\ \dfrac{\mathrm{bar}}{\mathrm K} \qquad \dfrac{8{,}0\ \mathrm{bar}}{800\ \mathrm K} = 0{,}010\ \dfrac{\mathrm{bar}}{\mathrm K} \)
Beide Quotienten sind gleich — der Prozess führt exakt zum Ausgangszustand zurück. Das ist die Bedingung dafür, dass die Maschine dauerhaft laufen kann: Nach jedem Umlauf steht das Gas wieder genau dort, wo es begonnen hat.
Ein Diagramm gegen den Uhrzeigersinn
AFB IIIIn einer Zeitschrift findet Lina ein V-p-Diagramm mit derselben geschlossenen Kurve wie beim Stirlingmotor — nur zeigen die Pfeile gegen den Uhrzeigersinn. Darunter steht: „Diese Maschine arbeitet nach demselben Prinzip.“
- Erklären Sie, was der Umlaufsinn im V-p-Diagramm physikalisch bedeutet.
- Beurteilen Sie die Bildunterschrift und geben Sie an, um welche Art von Maschine es sich handelt.
Hinweis zu Aufgabe a)
Hinweis zu Aufgabe b)
Erwartungshorizont zu Aufgabe a)
Die eingeschlossene Fläche ist in beiden Fällen gleich groß — sie gibt den Betrag der Arbeit pro Umlauf an. Der Umlaufsinn entscheidet darüber, in welche Richtung diese Arbeit fließt.
Im Uhrzeigersinn: Die Ausdehnung findet bei hohem Druck statt, die Kompression bei niedrigem. Die abgegebene Arbeit ist größer als die aufgenommene — die Maschine gibt netto Arbeit ab.
Gegen den Uhrzeigersinn: Genau umgekehrt. Die Kompression liegt bei hohem Druck, die Expansion bei niedrigem. Man muss netto Arbeit hineinstecken.
Erwartungshorizont zu Aufgabe b)
Die Bildunterschrift ist irreführend. Zwar durchläuft die Maschine dieselben vier Zustandsänderungen, aber in umgekehrter Richtung — und damit ist sie kein Motor.
Es handelt sich um eine Kältemaschine beziehungsweise Wärmepumpe: Man führt ihr Arbeit zu (etwa über einen Elektromotor), und sie transportiert dafür Wärme von der kalten auf die warme Seite — also entgegen der Richtung, in der Wärme von selbst fließt.
Genau so arbeiten Kühlschrank und Wärmepumpe. Richtig wäre die Unterschrift also nur in dieser Form: „Diese Maschine durchläuft denselben Kreisprozess — aber rückwärts.“