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TextaufgabenMaximaler Wirkungsgrad

Zwei Sachaufgaben mit Teilaufgaben und vollständigem Erwartungshorizont — das Kohlekraftwerk und ein Kraftwerk, das den Ozean nutzen soll.

1

Das Kohlekraftwerk

AFB II

In einem Kohlekraftwerk erreicht der Dampf eine Temperatur von \( 597\ ^\circ\mathrm C \). Die Kühlung erfolgt mit Flusswasser von \( 27\ ^\circ\mathrm C \). Das Kraftwerk setzt pro Sekunde \( 1000\ \mathrm{MJ} \) an Brennstoffenergie um; sein tatsächlicher Wirkungsgrad beträgt 45 %.

  1. Berechnen Sie den maximal möglichen Wirkungsgrad des Kraftwerks.
  2. Berechnen Sie, wie viel Abwärme das Kraftwerk pro Sekunde tatsächlich abgibt.
  3. Erläutern Sie, warum der tatsächliche Wirkungsgrad unter dem berechneten Maximalwert liegt.
Hinweis zu Aufgabe a)
Zuerst beide Temperaturen in Kelvin: K = °C + 273.
Hinweis zu Aufgabe b)
Von der zugeführten Energie wird der Anteil \( \eta \) zu Strom, der Rest zu Abwärme.
Hinweis zu Aufgabe c)
Welche Vorgänge im echten Kraftwerk kommen in der Formel \( \eta_{\max}=1-\tfrac{T_k}{T_h} \) überhaupt nicht vor?
Erwartungshorizont zu Aufgabe a)

\( T_h = 597\ ^\circ\mathrm C = 870\ \mathrm K \), \( T_k = 27\ ^\circ\mathrm C = 300\ \mathrm K \)

\( \eta_{\max} = 1 - \dfrac{300\ \mathrm K}{870\ \mathrm K} = 0{,}655 = \underline{65{,}5\ \%} \)

Erwartungshorizont zu Aufgabe b)

Nutzbar: \( 0{,}45 \cdot 1000\ \mathrm{MJ} = 450\ \mathrm{MJ} \) pro Sekunde, also 450 MW elektrische Leistung.

Abwärme: \( 1000\ \mathrm{MJ} - 450\ \mathrm{MJ} = \underline{550\ \mathrm{MJ}} \) pro Sekunde.

Mehr als die Hälfte der eingesetzten Energie verlässt das Kraftwerk also über Kühlturm und Flusswasser.

Erwartungshorizont zu Aufgabe c)

\( \eta_{\max} \) ist eine theoretische Obergrenze. Sie berücksichtigt ausschließlich die beiden Temperaturen und setzt einen ideal geführten Kreisprozess voraus.

Im echten Kraftwerk kommen Verluste hinzu, die in der Formel gar nicht vorkommen: Reibung in Turbine und Lagern, Wärmeverluste an Rohren und Kesselwand, unvollständige Verbrennung, Strömungsverluste im Dampf sowie der Eigenverbrauch der Anlage (Pumpen, Mühlen, Rauchgasreinigung).

Deshalb liegt der reale Wert mit 45 % deutlich unter den 65,5 %. Umgekehrt gilt aber: Kein technischer Fortschritt kann den Wert je über \( \eta_{\max} \) heben — dazu müsste man die Temperaturen ändern.

2

Strom aus dem Meer

AFB III

Ein Ingenieurbüro schlägt ein Kraftwerk vor, das den Temperaturunterschied im Ozean nutzt: Das Oberflächenwasser hat \( 27\ ^\circ\mathrm C \), das Tiefenwasser in 900 m Tiefe nur \( 5\ ^\circ\mathrm C \). In der Werbebroschüre steht: „Im Meer steckt unbegrenzt viel Energie — unser Kraftwerk macht daraus sauberen Strom, ganz ohne Brennstoff.“

  1. Berechnen Sie den maximal möglichen Wirkungsgrad dieses Kraftwerks.
  2. Beurteilen Sie die Aussage der Broschüre.
Hinweis zu Aufgabe a)
Beide Temperaturen in Kelvin umrechnen und in \( \eta_{\max} = 1-\tfrac{T_k}{T_h} \) einsetzen.
Hinweis zu Aufgabe b)
Trennen Sie zwei Fragen: Ist die Energiemenge das Problem? Und ist der Vorschlag deshalb unmöglich oder nur ungünstig?„Beurteilen“ heißt: begründet Stellung nehmen — auch differenziert, wenn ein Teil der Aussage stimmt.
Erwartungshorizont zu Aufgabe a)

\( T_h = 27\ ^\circ\mathrm C = 300\ \mathrm K \), \( T_k = 5\ ^\circ\mathrm C = 278\ \mathrm K \)

\( \eta_{\max} = 1 - \dfrac{278\ \mathrm K}{300\ \mathrm K} = 0{,}073 = \underline{7{,}3\ \%} \)

Real wären davon nur wenige Prozent übrig.

Erwartungshorizont zu Aufgabe b)

Die Aussage ist teilweise richtig, aber irreführend.

Richtig ist: Es wird tatsächlich kein Brennstoff verbrannt, und im Meer steckt sehr viel innere Energie. Physikalisch unmöglich ist der Vorschlag nicht — es gibt einen echten Temperaturunterschied, also lässt sich Arbeit gewinnen. (Wäre das ganze Meer gleich warm, wäre es dagegen ein Perpetuum mobile 2. Art.)

Irreführend ist: Nicht die Menge der Energie entscheidet, sondern der Temperaturunterschied. Mit 22 K Differenz sind höchstens 7,3 % nutzbar — und damit müssen über 92 % der umgewälzten Wärme wieder abgegeben werden.

Folge: Für eine nennenswerte Leistung müssten gewaltige Wassermengen aus 900 m Tiefe gepumpt werden. Ein Großteil des gewonnenen Stroms ginge für die Pumpen wieder drauf. Der Satz „unbegrenzt viel Energie“ verwechselt vorhandene mit nutzbarer Energie.