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Maximaler Wirkungsgrad

Wie viel Wärme sich höchstens in Arbeit verwandeln lässt, entscheiden allein die beiden Temperaturen: ηmax = 1 − Tk : Th.

1 Einstieg

Warum nie alles Arbeit wird

Der Stirlingmotor braucht beides: eine heiße und eine kalte Seite.

Die Abwärme ist deshalb kein Konstruktionsfehler.

  • Bedingung:Ohne kalte Seite läuft der Motor gar nicht.
  • Abwärme:Ein Teil der Wärme muss immer abgegeben werden.
  • Folge:Ein Wirkungsgrad von 100 % ist grundsätzlich unmöglich.
Wirkungsgrad
\( \eta = \dfrac{W_{\mathrm{nutz}}}{Q_{\mathrm{zu}}} \)
\( W_{\mathrm{nutz}} \)

Abgegebene Arbeit in Joule (J).

\( Q_{\mathrm{zu}} \)

Zugeführte Wärme in Joule (J).

η

Zahl ohne Einheit, meist in Prozent angegeben.

2 Erklärung

Die obere Grenze hängt nur an zwei Temperaturen

Über die Obergrenze entscheiden allein die beiden Temperaturen.

  • Maßgeblich:Das Verhältnis von kalter zu heißer Temperatur.
  • Ohne Einfluss:Bauart, Gas und Größe der Maschine.
  • Einheit:Beide Temperaturen immer in Kelvin einsetzen.
Maximaler Wirkungsgrad einer thermodynamischen Maschine
\( \eta_{\max} = \dfrac{T_h - T_k}{T_h} = 1 - \dfrac{T_k}{T_h} \)
\( T_h \)

Temperatur der heißen Seite in Kelvin (K).

\( T_k \)

Temperatur der kalten Seite in Kelvin (K).

Obergrenze

Jede reale Maschine bleibt unter diesem Wert.

Maximaler Wirkungsgrad

Der Balken zeigt, welcher Anteil der zugeführten Wärme bestenfalls zu Arbeit werden kann — und wie viel zwangsläufig als Abwärme übrig bleibt.

Energiefluss einer Wärmekraftmaschine: zugeführte Wärme teilt sich in Nutzarbeit und Abwärme zugeführte Wärme 100 % Tₕ = 600 K Maschine Nutzarbeit / Abwärme 50 % 50 % Tₖ = 300 K
maximaler Wirkungsgrad 50 %
Auch die beste denkbare Maschine bleibt unter diesem Wert.

Zwei Ablesungen lohnen sich: Bei \( T_h = T_k \) wird \( \eta_{\max} = 0 \) — ohne Temperaturunterschied gibt es keine Arbeit. Und \( \eta_{\max} = 1 \) gäbe es nur bei \( T_k = 0\ \mathrm K \), was unerreichbar ist.

Beispiel: unser Stirlingmotor

Heiße Seite 600 K, kalte Seite 300 K.

1Formel anschreiben.\( \eta_{\max} = 1 - \dfrac{T_k}{T_h} \)
2Werte einsetzen.\( \eta_{\max} = 1 - \dfrac{300\,\mathrm K}{600\,\mathrm K} = 0{,}5 = \underline{50\ \%} \)
3Deuten: Von 200 J zugeführter Wärme könnten bestenfalls 100 J zu Arbeit werden. Ein realer Motor bleibt wegen Reibung und Wärmeverlusten deutlich darunter — oft nur bei einem Drittel dieses Wertes.
Größenordnungen in der Technik
Maschine\( T_h \)\( T_k \)\( \eta_{\max} \)real
Kohlekraftwerk870 K300 K66 %ca. 45 %
Ottomotor1100 K350 K68 %ca. 30 %
Stirlingmotor im Unterricht600 K300 K50 %wenige %
3 Hinweise

Worauf du achten musst

Kelvin, nicht Celsius

Mit °C kommt Unsinn heraus. 600 °C und 27 °C sind 873 K und 300 K.

ηmax ist eine Obergrenze

Sie sagt, was höchstens geht. Das Ergebnis ist eine Zahl zwischen 0 und 1.

Nicht die Differenz allein

ΔT = 300 K ergibt bei \( T_h = 600\,\mathrm K \) 50 %, bei \( T_h = 1200\,\mathrm K \) nur 25 %. Es zählt das Verhältnis.

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