Die Alpenhütte
AFB IINach einer Skitour kommt Franz in einer Alpenhütte an. In der Hütte ist es eisig kalt \((-18\ ^\circ\mathrm C)\). Deshalb heizt Franz sofort ein und hat nach einiger Zeit eine Raumtemperatur von \(20\ ^\circ\mathrm C\) erreicht. Der Innenraum der Hütte hat \(120\ \mathrm{m^3}\) Volumen. Hinweis: Der Druck ist konstant. Rechne zuerst die Temperaturangaben von °C in K um.
- Berechnen Sie, wie viel Luft aus der Hütte entwichen ist.
- Erklären Sie, warum überhaupt Luft entweicht, obwohl die Hütte doch geschlossen ist.
Hinweis zu Aufgabe a)
Hinweis zu Aufgabe b)
Erwartungshorizont zu Aufgabe a)
Gegeben: \(-18\ ^\circ\mathrm C = 255\ \mathrm K = T_1\); \(20\ ^\circ\mathrm C = 293\ \mathrm K = T_2\); \(120\ \mathrm{m^3} = V_1\)
\( \dfrac{V_1}{T_1} = \dfrac{V_2}{T_2} \)
\( \dfrac{120}{255} = \dfrac{V_2}{293} \quad |\cdot 293 \)
\( \dfrac{120}{255}\cdot 293 = V_2 = 137{,}9\ \mathrm{m^3} \)
\( V_2 - V_1 = \underline{17{,}9\ \mathrm{m^3}} \)
Es entweichen also knapp 18 Kubikmeter Luft — rund 15 % der ursprünglichen Luftmenge.
Erwartungshorizont zu Aufgabe b)
Die erwärmte Luft hätte bei gleichem Druck ein größeres Volumen. Das Volumen der Hütte ist aber fest.
Eine normale Hütte ist nicht luftdicht: durch Ritzen, Türspalten und den Kamin strömt die überschüssige Luft nach außen, und der Druck im Inneren bleibt gleich dem Außendruck. Genau deshalb darf man hier das zweite Gas-Gesetz anwenden.
Wäre die Hütte wirklich dicht, bliebe das Volumen konstant — dann würde stattdessen der Druck steigen (drittes Gas-Gesetz).
Der Heißluftballon
AFB IIDie Hülle eines Heißluftballons hat ein gesamtes Volumen von \(2700\ \mathrm{m^3}\). Die Luft im Ballon wird durch die Umgebungstemperatur beeinflusst. Anfangs herrschen \(0\ ^\circ\mathrm C\), und die Luft im Ballon nimmt das gesamte Volumen ein. Nun wird die Luft im Ballon erwärmt, sodass die Temperatur auf \(36\ ^\circ\mathrm C\) ansteigt.
- Berechnen Sie, wie viel Luft des Ballons entweicht, wenn sich dieser von \(0\ ^\circ\mathrm C\) auf \(36\ ^\circ\mathrm C\) erwärmt.
- Erklären Sie, warum der Ballon dadurch aufsteigt.
Hinweis zu Aufgabe a)
Hinweis zu Aufgabe b)
Erwartungshorizont zu Aufgabe a)
Gegeben: \(V_1 = 2700\ \mathrm{m^3}\); \(T_1 = 0\ ^\circ\mathrm C = 273\ \mathrm K\); \(T_2 = 36\ ^\circ\mathrm C = 309\ \mathrm K\)
\( \dfrac{V_1}{T_1} = \dfrac{V_2}{T_2} \)
\( \dfrac{2700}{273} = \dfrac{V_2}{309} \)
\( V_2 = \underline{3056\ \mathrm{m^3}} \)
Die Hülle fasst aber nur \(2700\ \mathrm{m^3}\). Es entweichen also \(3056 - 2700 = 356\ \mathrm{m^3}\) Luft aus der unteren Öffnung.
Erwartungshorizont zu Aufgabe b)
Nach dem Erwärmen befindet sich weniger Luftmasse im gleich großen Ballon — die Dichte der Luft im Inneren ist also kleiner als die der Umgebungsluft.
Der Ballon verdrängt so viel kalte Außenluft, wie sein Volumen beträgt. Weil die verdrängte Luft schwerer ist als die eingeschlossene warme Luft, wirkt eine Auftriebskraft nach oben, die größer ist als die Gewichtskraft — der Ballon steigt.
Der Solarballon
AFB IIIEin Solarballon besteht aus einem schwarzen dünnen Kunststoffschlauch von \(2{,}2\ \mathrm m\) Länge und \(30\ \mathrm{cm}\) Radius. Bei Sonnenbestrahlung wird das Innere erwärmt. Wir gehen davon aus, dass sich die Hülle des Solarballons durch Erwärmung nicht ausdehnt.
- Berechnen Sie das maximale Volumen des Solarballons.
- Der Solarballon wird bei einer Temperatur von \(20\ ^\circ\mathrm C\) mit einem Volumen von \(530\ \mathrm l\) gefüllt. Berechnen Sie, welche Temperatur die Luft im Inneren des Solarballons erreichen muss, damit der Ballon bei einem Volumen von \(620\ \mathrm l\) zu steigen beginnt.
Hinweis zu Aufgabe a)
Hinweis zu Aufgabe b)
Erwartungshorizont zu Aufgabe a)
Volumen eines Zylinders:
\( V = \pi r^2 h = \pi\cdot 0{,}3^2\cdot 2{,}2 = 0{,}622\ \mathrm{m^3} = \underline{622\ \mathrm l} \)
Mehr als 622 l passen also nicht hinein — die Hülle dehnt sich ja nicht.
Erwartungshorizont zu Aufgabe b)
Gegeben: \(T_1 = 20\ ^\circ\mathrm C = 293\ \mathrm K\); \(V_1 = 530\ \mathrm l\); \(V_2 = 620\ \mathrm l\)
\( \dfrac{V_1}{T_1} = \dfrac{V_2}{T_2} \)
\( \dfrac{530}{293} = \dfrac{620}{T_2} \)
\( T_2 = \underline{343\ \mathrm K} = 70\ ^\circ\mathrm C \)
Die Luft im schwarzen Schlauch muss sich also auf 70 °C aufheizen — das erreicht ein schwarzer Kunststoff an einem sonnigen Tag durchaus. Bei 620 l ist der Ballon fast vollständig gefüllt (Maximum 622 l).