Die Druckpumpe
AFB IIDruckpumpen finden in vielen Bereichen Anwendung. In dem abgebildeten Schnittbild ist eine Druckpumpe zum Heben von Wasser dargestellt (Material M1).
Die beiden rot gezeichneten Ventile V₁ und V₂ sind Klappen, die sich nur in eine Richtung öffnen.
- Erklären Sie die Funktionsweise der Pumpe.
- Gehen Sie dabei auch auf die Stellung des rot gezeichneten Ventils ein und erläutern Sie, welche Rolle der Luftdruck beim Ansaugen spielt.
Hinweis zu Aufgabe a)
Hinweis zu Aufgabe b)
Erwartungshorizont zu Aufgabe a)
Kolben aufwärts (Ansaugen): Der Raum unter dem Kolben wird größer, der Druck darin sinkt unter den Außendruck. Das Ventil V₁ im Saugrohr öffnet sich, V₂ zum Steigrohr wird zugedrückt. Wasser strömt aus dem Vorratsbehälter in den Zylinder nach.
Kolben abwärts (Drücken): Der Raum unter dem Kolben wird kleiner, der Druck steigt. V₁ schlägt zu, damit das Wasser nicht zurück ins Saugrohr kann; V₂ öffnet sich, und das Wasser wird ins Steigrohr gedrückt.
Die Ventile wirken also als Rückschlagklappen: Sie lassen das Wasser nur in einer Richtung durch und machen aus der Hin-und-her-Bewegung des Kolbens einen gerichteten Wasserstrom.
Erwartungshorizont zu Aufgabe b)
Das Wasser wird nicht „hochgezogen“. Im Zylinder herrscht beim Aufwärtshub ein kleinerer Druck als der Luftdruck, der auf die Wasseroberfläche im Behälter drückt. Diese Druckdifferenz schiebt das Wasser durch das Saugrohr nach oben.
Daraus folgt eine physikalische Grenze: Der Luftdruck von rund 1013 hPa kann eine Wassersäule von höchstens etwa 10 m tragen, denn \(h=\dfrac{p}{\rho\cdot g}=\dfrac{101325}{1000\cdot 9{,}81}\approx 10{,}3\ \mathrm m\). Tiefer als etwa 10 m kann eine Saugpumpe nicht ansaugen — egal wie kräftig man pumpt.
Warum Staumauern unten dicker sind
AFB IIIStaumauern von Speicherseen sind unten deutlich dicker ausgeführt als oben. Eine Stromversorgungsgesellschaft hat einen fünfzig Meter hohen Damm mit einem Stausee dahinter gebaut. Nicht weit entfernt steht ein zweiter Staudamm, der nur vierzig Meter hoch ist, aber einen sehr viel größeren See aufstaut.
Die gelben Pfeile stehen für den Wasserdruck auf die Mauer.
- Erläutern Sie, warum Staumauern von Speicherseen unten dicker ausgeführt sind als oben.
- Beurteilen Sie, welcher der beiden beschriebenen Dämme stärker sein muss.
Hinweis zu Aufgabe a)
Hinweis zu Aufgabe b)
Erwartungshorizont zu Aufgabe a)
Der Schweredruck wächst nach \(p=h\cdot\rho\cdot g\) linear mit der Tiefe. Am Fuß einer 50 m hohen Mauer beträgt er \(p=50\cdot 1000\cdot 9{,}81\approx 4{,}9\cdot 10^5\ \mathrm{Pa}\), also rund 4,9 bar, während er direkt unter der Wasseroberfläche nahezu null ist.
Die Mauer muss dort am meisten aushalten, wo der Druck am größten ist — ganz unten. Deshalb wird sie nach unten hin dicker gebaut; oben wäre dieselbe Dicke reine Materialverschwendung.
Erwartungshorizont zu Aufgabe b)
Der fünfzig Meter hohe Damm muss stärker sein.
In \(p=h\cdot\rho\cdot g\) kommt nur die Höhe der Wassersäule vor, nicht das Volumen und nicht die Fläche des Sees. Der Druck am Fuß der Mauer hängt also allein von der Stauhöhe ab: 50 m ergeben rund 4,9 bar, 40 m nur rund 3,9 bar.
Der viel größere See hinter dem niedrigeren Damm ändert daran nichts — er behält trotz seines größeren Wasservolumens den kleineren Druck an der Mauer.
Die Infusion
AFB IIEiner Patientin wird mittels eines intravenösen Zugangs eine Kochsalzlösung \((\rho_S = 1{,}03\,\mathrm{\tfrac{g}{cm^3}})\) zugeführt. Bei der eingestellten Höhe der Flasche von 75 cm über dem Zugang kann die Salzlösung gerade ins venöse Blut gelangen.
- Berechnen Sie den Druck des venösen Blutes.
- Erklären Sie, warum die Flasche „gerade“ auf dieser Höhe hängen muss und was passiert, wenn man sie tiefer hängt.
Hinweis zu Aufgabe a)
Hinweis zu Aufgabe b)
Erwartungshorizont zu Aufgabe a)
Gegeben: \(\rho_S = 1{,}03\,\mathrm{\tfrac{g}{cm^3}} = 1030\,\mathrm{\tfrac{kg}{m^3}}\), \(g = 9{,}81\,\mathrm{\tfrac{m}{s^2}}\), \(h = 0{,}75\ \mathrm m\).
\(p = \rho\cdot g\cdot h = 1030\cdot 9{,}81\cdot 0{,}75 = \underline{7578{,}225\ \mathrm{Pa}}\)
Das sind rund 7,6 kPa oder etwa 0,076 bar — in der Medizin würde man etwa 57 mmHg sagen.
Erwartungshorizont zu Aufgabe b)
Die Infusion läuft nur, solange der Schweredruck der Flüssigkeitssäule größer ist als der Druck im venösen Blut. Bei genau 75 cm sind beide Drücke gleich groß — die Lösung gelangt „gerade noch“ hinein, strömt aber praktisch nicht mehr.
Hängt man die Flasche tiefer, wird h und damit \(p=h\cdot\rho\cdot g\) kleiner als der Blutdruck. Dann kehrt sich die Druckdifferenz um, und es würde Blut in den Schlauch zurückfließen. Hängt man sie höher, steigt der Druck und die Infusion läuft schneller.
Pascals Weinfass
AFB IIIVon dem französischen Philosophen und Physiker Blaise Pascal (1623–1662) wird folgende Geschichte erzählt: „Pascal behauptete, er könne mit ein paar Gläsern Wein ein volles Weinfass zerstören. Aber niemand glaubte ihm. Daraufhin bohrte Pascal ein Loch oben in ein Fass und steckte ein mehrere Meter langes, dünnes Rohr hinein. Nachdem er das Fass sorgfältig abgedichtet hatte, goss er Wein in das Rohr. Das dünne Rohr füllte sich schnell und plötzlich barst das Fass mit lautem Krachen.“
Fass: 500 l Inhalt, Höhe 1 m. Steigrohr: Querschnittsfläche 0,9 cm².
- Erklären Sie das Phänomen.
- Das Fass habe einen Inhalt von 500 l und eine Höhe von 1 m. Das Steigrohr habe eine Querschnittsfläche von \(0{,}9\ \mathrm{cm^2}\). Berechnen Sie, wie viel Gläser Wein mit jeweils 0,25 l Inhalt Pascal in das Steigrohr gießen musste, damit sich der Überdruck am Boden des Fasses vervierfachte.
Hinweis zu Aufgabe a)
Hinweis zu Aufgabe b)
Erwartungshorizont zu Aufgabe a)
Der Schweredruck hängt nur von der Höhe der Flüssigkeitssäule ab, nicht von ihrem Volumen: \(p=h\cdot\rho\cdot g\). Die Fläche kürzt sich bei der Herleitung heraus.
Das dünne Rohr fasst nur wenige Zehntelliter, verlängert die Wassersäule über dem Fassboden aber um mehrere Meter. Damit steigt der Druck am Fassboden auf ein Vielfaches — und die Fassdauben halten der Kraft nicht mehr stand. Wenige Gläser Wein genügen also tatsächlich.
Erwartungshorizont zu Aufgabe b)
Gegeben: Fasshöhe \(h_0=1\ \mathrm m\); Volumen \(V=500\ \mathrm l = 0{,}5\ \mathrm{m^3}\); Rohr \(A=0{,}9\ \mathrm{cm^2}=0{,}00009\ \mathrm{m^2}\); Glas \(V_G=0{,}25\ \mathrm l\).
Gesucht: Wann ist \(p=4\cdot p_0\)?
Es gilt \(p_0=\rho\cdot h_0\cdot g\) und \(p=\rho\cdot h\cdot g\). Aus \(\rho\cdot h\cdot g = 4\cdot\rho\cdot h_0\cdot g\) folgt nach Division durch \(\rho\cdot g\): \(h=4\cdot h_0 = 4\ \mathrm m\).
Zu der 1 m hohen Fasshöhe müssen also noch 3 m Höhe im Rohr hinzukommen.
Volumen dieser 3 m: \(V = A\cdot h = 0{,}00009\ \mathrm{m^2}\cdot 3\ \mathrm m = 0{,}00027\ \mathrm{m^3} = 0{,}27\ \mathrm l\).
Ein Glas fasst 0,25 l — es ist also etwas mehr als 1 Glas notwendig.
Die Pipette
AFB IIMit einer Pipette kann man bequem Flüssigkeiten aus einem Behälter entnehmen.
Im Inneren der Pipette herrscht ein Druck von 13 Pa gegenüber dem Behälter.
- Erklären Sie das physikalische Prinzip, wie eine Pipette funktioniert.
- Angenommen, in dem Behälter befindet sich Spiritus mit einer Dichte von ungefähr \(\rho_S = 0{,}83\,\mathrm{\tfrac{g}{cm^3}}\). Berechnen Sie, wie hoch der Spiritus in der Pipette steigt, wenn im Inneren ein Druck von 13 Pa herrscht.
Hinweis zu Aufgabe a)
Hinweis zu Aufgabe b)
Erwartungshorizont zu Aufgabe a)
Das Prinzip ist der Unterdruck. Drückt man den Gummiball zusammen, entweicht Luft. Lässt man ihn los, dehnt er sich wieder aus, das Luftvolumen im Inneren wird größer und der Druck darin sinkt unter den äußeren Luftdruck.
Der äußere Luftdruck drückt nun auf die Flüssigkeitsoberfläche im Behälter und schiebt die Flüssigkeit in das Rohr hinein — so weit, bis der Schweredruck der aufgestiegenen Säule die Druckdifferenz gerade ausgleicht.
Erwartungshorizont zu Aufgabe b)
Gegeben: \(\rho_S = 0{,}83\,\mathrm{\tfrac{g}{cm^3}} = 830\,\mathrm{\tfrac{kg}{m^3}}\), \(p = 13\ \mathrm{Pa}\), \(g = 9{,}81\,\mathrm{\tfrac{m}{s^2}}\).
\(h = \dfrac{p}{\rho\cdot g} = \dfrac{13}{830\cdot 9{,}81} = 0{,}0016\ \mathrm m = 0{,}16\ \mathrm{cm} = \underline{1{,}6\ \mathrm{mm}}\)
Schon eine winzige Druckdifferenz von 13 Pa hebt den Spiritus also um gut anderthalb Millimeter.
Die Luke des U-Boots
AFB IIEin U-Boot taucht in große Tiefe. Rechnen Sie mit der Dichte von Meerwasser \(\rho = 1020\,\mathrm{\tfrac{kg}{m^3}}\) und mit \(g = 9{,}81\,\mathrm{\tfrac{m}{s^2}}\).
- Berechnen Sie, in welcher Wassertiefe ein Druck von \(1{,}8\ \mathrm{MPa}\) herrscht.
- Berechnen Sie den Betrag der Kraft, die in dieser Tiefe auf die Luke eines U-Boots mit dem Flächeninhalt \(2\ \mathrm{dm^2}\) wirkt.
Hinweis zu Aufgabe a)
Hinweis zu Aufgabe b)
Erwartungshorizont zu Aufgabe a)
\(p = 1{,}8\ \mathrm{MPa} = 1.800.000\ \mathrm{Pa}\)
\(h = \dfrac{p}{\rho\cdot g} = \dfrac{1\,800\,000}{1020\cdot 9{,}81} \approx \underline{183\ \mathrm m}\)
Erwartungshorizont zu Aufgabe b)
\(A = 2\ \mathrm{dm^2} = 0{,}02\ \mathrm{m^2}\)
\(F = p\cdot A = 1\,800\,000\ \mathrm{Pa}\cdot 0{,}02\ \mathrm{m^2} = 36\,000\ \mathrm N = \underline{36\ \mathrm{kN}}\)
36 kN entsprechen der Gewichtskraft von rund 3,7 Tonnen — auf einer Luke von der Größe eines DIN-A4-Blattes. Deshalb lassen sich Luken in der Tiefe nur nach außen öffnen, nie nach innen.