MINT lernen

TextaufgabenDas Gesetz von Boyle-Mariotte

Fünf Sachaufgaben mit Teilaufgaben und vollständigem Erwartungshorizont — von der Luftpumpe über die Taucherglocke bis zum platzenden Luftballon.

1

Die Luftpumpe

AFB II

Eine gewöhnliche Luftpumpe hat ein Gesamtvolumen von \( 240\ \mathrm{cm^3} \), welches beim Pumpen auf ein Volumen von \( 40\ \mathrm{cm^3} \) zusammengedrückt wird. Der Außendruck beträgt 1 bar.

M1Luftpumpe im Schnitt
eingeschlossene Luft

Die Temperatur der Luft bleibt beim Pumpen näherungsweise konstant.

  1. Berechnen Sie, welcher Druck entsteht, wenn man das Volumen auf \( 40\ \mathrm{cm^3} \) zusammendrückt.
  2. Erläutern Sie, warum man beim Pumpen mit jedem Hub mehr Kraft aufwenden muss.
Hinweis zu Aufgabe a)
Setze \( p_1\cdot V_1 = p_2\cdot V_2 \) an. Die Einheiten bar und cm³ dürfen stehen bleiben, weil sie auf beiden Seiten gleich sind.
Hinweis zu Aufgabe b)
Wie hängt die Kraft auf den Kolben mit dem Druck im Zylinder zusammen? Denke an \( F = p\cdot A \).
Erwartungshorizont zu Aufgabe a)

\( p_1\cdot V_1 = p_2\cdot V_2 \)

\( 1\ \mathrm{bar}\cdot 240\ \mathrm{cm^3} = p_2\cdot 40\ \mathrm{cm^3}\quad |:40 \)

\( p_2 = \underline{6\ \mathrm{bar}} \)

Der Druck versechsfacht sich, weil das Volumen auf ein Sechstel zusammengedrückt wird.

Erwartungshorizont zu Aufgabe b)

Die Kraft, die man aufbringen muss, ist \( F = p\cdot A \) mit der Kolbenfläche A. Weil der Druck im Zylinder mit kleiner werdendem Volumen immer weiter steigt (erstes Gas-Gesetz), wächst auch die notwendige Kraft.

Zu Beginn des Hubs drückt man gegen 1 bar, am Ende gegen 6 bar — also gegen die sechsfache Kraft. Das ist der Grund, warum die letzten Zentimeter des Pumpenhubs am schwersten gehen.

2

Die Taucherglocke

AFB II

Eine Taucherglocke wird an der Wasseroberfläche mit \( 150\ \mathrm{cm^3} \) Luft gefüllt und abgesenkt, wobei die Temperatur der Luft in der Taucherglocke konstant bleibt.

  1. Berechnen Sie den Druck, der in 50 m Wassertiefe herrscht.
  2. Berechnen Sie das Volumen der Luft in der Taucherglocke in 50 m Wassertiefe.
Hinweis zu Aufgabe a)
Nutze die Formel für den Schweredruck: \( p = h\cdot\rho\cdot g \) mit \( \rho = 1000\ \mathrm{kg/m^3} \).
Hinweis zu Aufgabe b)
An der Oberfläche herrscht der Atmosphärendruck \( 1\ \mathrm{atm} = 101\,325\ \mathrm{Pa} \). Setze dann \( p_1V_1 = p_2V_2 \) an.
Erwartungshorizont zu Aufgabe a)

\( p_2 = h\cdot\rho\cdot g = 50\cdot 1000\cdot 9{,}81 = \underline{490\,500\ \mathrm{Pa}} \)

Das sind rund 4,9 bar allein durch die Wassersäule.

Erwartungshorizont zu Aufgabe b)

Gegeben: \( V_1 = 150\ \mathrm{cm^3} \), \( p_1 = 1\ \mathrm{atm} = 101\,325\ \mathrm{Pa} \), \( p_2 = 490\,500\ \mathrm{Pa} \). Gesucht: \( V_2 \)

\( p_1\cdot V_1 = p_2\cdot V_2 \)

\( 101\,325\ \mathrm{Pa}\cdot 150\ \mathrm{cm^3} = 490\,500\ \mathrm{Pa}\cdot V_2 \quad |: 490\,500\ \mathrm{Pa} \)

\( V_2 \approx \underline{31\ \mathrm{cm^3}} \)

Die Luft wird also auf rund ein Fünftel zusammengedrückt — die Taucherglocke läuft von unten mit Wasser voll.

3

Der Wetterballon

AFB II

Wetterballone sind aus sehr leichtem, dehnbarem Material, sodass sie ein Vielfaches ihres Anfangsvolumen einnehmen können und auch noch bei sehr niedrigen Temperaturen elastisch sind. Ein Wetterballon wird bei einem Bodendruck von 1 bar mit \( 1\ \mathrm{m^3} \) Helium gefüllt. In etwa 33 km Höhe liegt der Luftdruck nur noch bei 0,015625 bar. In dieser Höhe platzen die Wetterballone.

  1. Berechnen Sie das Volumen der Wetterballone kurz vor dem Platzen. Vernachlässigen Sie bei der Rechnung eventuelle Temperaturunterschiede.
  2. Erläutern Sie, warum die Angabe „Temperaturunterschiede vernachlässigen“ in der Aufgabe überhaupt nötig ist.
Hinweis zu Aufgabe a)
\( p_1\cdot V_1 = p_2\cdot V_2 \), beide Drücke in bar.
Hinweis zu Aufgabe b)
Welche Bedingung muss erfüllt sein, damit das erste Gas-Gesetz überhaupt angewendet werden darf?
Erwartungshorizont zu Aufgabe a)

Gegeben: \( p_1 = 1\ \mathrm{bar} \), \( V_1 = 1\ \mathrm{m^3} \), \( p_2 = 0{,}015625\ \mathrm{bar} \)

\( p_1\cdot V_1 = p_2\cdot V_2 \)

\( 1\ \mathrm{bar}\cdot 1\ \mathrm{m^3} = 0{,}015625\ \mathrm{bar}\cdot V_2 \quad |: 0{,}015625\ \mathrm{bar} \)

\( V_2 = \underline{64\ \mathrm{m^3}} \)

Der Ballon nimmt also das 64-fache seines Startvolumens ein — deshalb muss die Hülle so stark dehnbar sein.

Erwartungshorizont zu Aufgabe b)

Das erste Gas-Gesetz \( p\cdot V = \text{konstant} \) gilt nur bei konstanter Temperatur. In 33 km Höhe ist es aber deutlich kälter als am Boden.

Ohne die Vereinbarung, Temperaturunterschiede zu vernachlässigen, dürfte man das Gesetz hier gar nicht anwenden. Die tatsächliche Ausdehnung fällt wegen der Kälte etwas kleiner aus als die berechneten 64 m³.

4

Der Stratosphärenballon

AFB III

Ein Stratosphärenballon fasst ein Volumen von \( 10.000\ \mathrm{m^3} \). Am Boden werden bei einem Luftdruck von 1 bar genau \( 500\ \mathrm{m^3} \) Helium eingefüllt.

  1. Berechnen Sie, bei welchem Druck der Ballon sein maximales Volumen erreicht. Gehen Sie davon aus, dass sich die Temperatur während des Aufsteigens nicht ändert.
  2. Normalerweise wird die Luft in größeren Höhen immer kälter. Erklären Sie, wie sich dies auf das Ergebnis von a) auswirkt.
Hinweis zu Aufgabe a)
Das maximale Volumen ist \( V_2 = 10.000\ \mathrm{m^3} \). Gesucht ist der zugehörige Druck \( p_2 \).
Hinweis zu Aufgabe b)
Die Kälte wirkt der Ausdehnung entgegen. In welcher Höhe — und damit bei welchem Druck — wird das Maximalvolumen dann erreicht?„Erklären“ heißt: die Wirkung auf eine Ursache zurückführen, hier auf die Temperaturabhängigkeit des Gasvolumens.
Erwartungshorizont zu Aufgabe a)

Gegeben: \( p_1 = 1\ \mathrm{bar} \), \( V_1 = 500\ \mathrm{m^3} \), \( V_2 = 10.000\ \mathrm{m^3} \)

\( p_1\cdot V_1 = p_2\cdot V_2 \)

\( p_2 = \dfrac{1\ \mathrm{bar}\cdot 500\ \mathrm{m^3}}{10.000\ \mathrm{m^3}} = \underline{0{,}05\ \mathrm{bar}} \)

Bei einem Zwanzigstel des Bodendrucks ist der Ballon also prall gefüllt.

Erwartungshorizont zu Aufgabe b)

Kältere Luft bedeutet, dass sich die Gasteilchen langsamer bewegen und weniger stark gegen die Hülle drücken. Das Gas dehnt sich beim Aufsteigen daher weniger stark aus, als die Rechnung mit konstanter Temperatur vorhersagt.

Folge: Der Ballon erreicht sein Maximalvolumen erst bei einem noch kleineren Druck, also in größerer Höhe als berechnet. Der Wert 0,05 bar ist eine obere Abschätzung für den Druck beim Erreichen des Maximalvolumens.

5

In welcher Höhe platzt der Luftballon?

AFB III

Ein Luftballon wird mit Helium gefüllt und steigen gelassen. Bei einer Vervierfachung seines Volumens platzt er. Bestimmen Sie mit Hilfe des abgebildeten Graphen, in welcher Höhe der Luftballon platzt. Vernachlässigen Sie dabei mögliche Temperatureinflüsse.

M1Höhe in Abhängigkeit vom Luftdruck
161412 1086 420 200400600 8001000 Höhe in km Druck in hPa

Am Boden beträgt der Luftdruck rund 1000 hPa.

  1. Am Boden herrscht ein Luftdruck von etwa 1000 hPa. Berechnen Sie, bei welchem Luftdruck das Volumen des Ballons viermal so groß ist wie am Boden.
  2. Bestimmen Sie mit Hilfe des Graphen die zugehörige Höhe.
Hinweis zu Aufgabe a)
Vierfaches Volumen bedeutet nach \( p_1V_1 = p_2V_2 \) welchen Bruchteil des Drucks?
Hinweis zu Aufgabe b)
Suche den berechneten Druckwert auf der waagerechten Achse und gehe senkrecht bis zur Kurve, dann waagerecht zur Höhenachse.
Erwartungshorizont zu Aufgabe a)

\( p_1\cdot V_1 = p_2\cdot V_2 \) mit \( V_2 = 4\cdot V_1 \):

\( 1000\ \mathrm{hPa}\cdot V_1 = p_2\cdot 4\, V_1 \quad |: 4V_1 \)

\( p_2 = \dfrac{1000\ \mathrm{hPa}}{4} = \underline{250\ \mathrm{hPa}} \)

Bei vierfachem Volumen ist der Druck also auf ein Viertel gesunken.

Erwartungshorizont zu Aufgabe b)

Man geht bei 250 hPa senkrecht nach oben bis zur Kurve und dann waagerecht nach links zur Höhenachse.

Antwort: Der Ballon platzt ca. in einer Höhe von 11 km.

Das ist etwa die Reiseflughöhe eines Verkehrsflugzeugs.