Textaufgaben: Schrödingers Katze

Zerfällt der Kern im Präparat, so registriert der Detektor diesen Zerfall und gibt ein Signal weiter. Das Signal löst den Hammer aus, der Hammer zerschlägt die Giftphiole, das Gift wird frei und die Katze lebt nicht mehr.

Zerfällt der Kern dagegen nicht, misst der Detektor nichts, der Hammer bleibt in Ruhe, die Phiole bleibt heil und die Katze lebt. Die Box hat damit genau zwei mögliche Ausgänge, weil der Kern nur zwei Zustände kennt: zerfallen oder nicht zerfallen.

Ansatz: \(n=\dfrac{t}{T_{1/2}}=\dfrac{16{,}0\,\mathrm d}{8{,}0\,\mathrm d}=2{,}0\).

Ansatz: \(P=1-\left(\dfrac{1}{2}\right)^{n}=1-\left(\dfrac{1}{2}\right)^{2}=1-0{,}25=0{,}75\), also \(P=75\,\%\).

Mit 75 % Wahrscheinlichkeit ist der Kern nach 16 Tagen zerfallen, mit 25 % Wahrscheinlichkeit ist er noch ganz.

Die Box ist nach M1 vollständig geschlossen: Von außen ist nichts zu sehen, zu hören oder zu messen. Eine Messung setzt aber voraus, dass irgendein Signal — Licht, Schall, Strahlung — den Messenden erreicht. Genau das schließt der Aufbau aus.

Solange die Box zu ist, bleibt deshalb nur die berechnete Wahrscheinlichkeit von 75 % bzw. 25 %. Erst das Öffnen liefert eine Aussage über den tatsächlichen Zustand.

Ansatz: \(n=\dfrac{11{,}4\,\mathrm d}{3{,}8\,\mathrm d}=3{,}0\).

\(N = N_0\cdot\left(\dfrac{1}{2}\right)^{3}=1{,}0\cdot 10^{12}\cdot 0{,}125 = 1{,}25\cdot 10^{11}\).

Nach 11,4 Tagen sind noch rund \(1{,}25\cdot 10^{11}\) Kerne vorhanden; \(8{,}75\cdot 10^{11}\) Kerne sind zerfallen.

\(P = 1-\left(\dfrac{1}{2}\right)^{3}=1-0{,}125=0{,}875 = 87{,}5\,\%\).

Beide Rechnungen benutzen dieselbe Potenz \(\left(\tfrac12\right)^{3}\), sagen aber Verschiedenes aus: Beim Präparat sind es 87,5 % der Kerne, die zerfallen sind — eine Anzahl, die man nachzählen kann. Beim einzelnen Kern sind es 87,5 % Wahrscheinlichkeit; nachzählen lässt sich hier nichts, es gibt nur die beiden Ausgänge „zerfallen“ oder „noch ganz“.

Jeder einzelne Kern zerfällt zufällig. Bei \(1{,}0\cdot 10^{12}\) Kernen mitteln sich diese Zufälle heraus: Die zufälligen Abweichungen der einzelnen Kerne gleichen sich gegenseitig aus, sodass die Gesamtzahl dem berechneten Wert sehr genau folgt. Das ist derselbe Effekt wie beim Würfeln — je mehr Würfe, desto näher liegt die relative Häufigkeit an \(\tfrac16\).

Für einen einzelnen Kern gibt es dagegen nichts, was sich ausmitteln könnte. Nach heutigem Stand legt auch nichts im Kern den Zerfallszeitpunkt vorher fest; die Unvorhersagbarkeit ist keine Folge zu ungenauer Messgeräte oder fehlenden Wissens, sondern eine Eigenschaft des Vorgangs selbst. Deshalb ist die Halbwertszeit für große Mengen sehr zuverlässig und für den einzelnen Kern wertlos.

Erwartungswert: \(200\cdot 0{,}50 = 100\) Boxen mit zerfallenem Kern.

Gemessen wurden 112 Boxen, also eine relative Häufigkeit von \(\dfrac{112}{200}=0{,}56=56{,}0\,\%\).

Die Abweichung beträgt \(56{,}0\,\% - 50{,}0\,\% = 6{,}0\) Prozentpunkte (12 Boxen mehr als erwartet).

Die Behauptung ist zurückzuweisen. Die Halbwertszeit sagt nicht, dass von 200 Boxen genau 100 einen zerfallenen Kern enthalten müssen; sie gibt für jede einzelne Box eine Wahrscheinlichkeit von 50 % an. Die tatsächliche Anzahl schwankt von Durchgang zu Durchgang um den Erwartungswert.

M2 zeigt genau dieses Verhalten: Bei nur 20 Boxen liegt die relative Häufigkeit mit 65,0 % noch weit daneben, bei 200 Boxen bei 56,0 %. Eine Abweichung von 12 Boxen bei 200 Versuchen ist damit kein Widerspruch, sondern der erwartete Zufallseinfluss.

Die relative Häufigkeit nähert sich mit wachsender Anzahl immer besser dem theoretischen Wert von 50 %: 65,0 % → 56,0 % → 51,3 % → 50,2 %. Die Abweichung sinkt von 15,0 über 6,0 und 1,3 auf 0,2 Prozentpunkte.

Genau das erwartet man, wenn jede einzelne Box unabhängig mit 50 % Wahrscheinlichkeit einen zerfallenen Kern enthält: Der Zufall der Einzelfälle mittelt sich bei vielen Wiederholungen heraus. Die Simulation bestätigt die Halbwertszeit deshalb nicht durch einen einzelnen Durchgang, sondern durch den Trend über alle vier Durchgänge — und sie zeigt zugleich, dass sich über eine einzelne Box weiterhin nichts vorhersagen lässt.

\(n=3\): \(P = 1-0{,}125 = 87{,}5\,\%\) — zu wenig. \(n=4\): \(P = 1-0{,}0625 = 93{,}75\,\%\) — noch zu wenig. \(n=5\): \(P = 1-0{,}03125 = 96{,}875\,\%\) — erreicht.

Die kleinste ganze Anzahl ist also \(n = 5\). Verschlusszeit: \(t = 5\cdot 8{,}0\,\mathrm d = 40\,\mathrm d\).

(Ohne Beschränkung auf ganze Zahlen ergäbe sich die Schwelle bereits bei \(n \approx 4{,}32\), also nach rund 34,6 Tagen.)

\(P = 100\,\% = 1\) würde \(1-\left(\tfrac12\right)^{n} = 1\) bedeuten, also \(\left(\tfrac12\right)^{n} = 0\).

Eine Potenz von \(\tfrac12\) wird jedoch für jedes noch so große \(n\) immer nur halbiert und bleibt dabei stets größer als null: \(\tfrac12, \tfrac14, \tfrac18, \ldots\) Für \(n = 20\) etwa ist \(\left(\tfrac12\right)^{20} \approx 9{,}5\cdot 10^{-7}\), also immer noch positiv.

Damit ist \(P\) stets echt kleiner als 1. Die Wahrscheinlichkeit nähert sich 100 % beliebig genau an, erreicht diesen Wert aber zu keinem Zeitpunkt. Der Mitschüler hat also nicht recht.

Rechnerisch gilt \(\left(\tfrac12\right)^{10} = \dfrac{1}{1024}\approx 0{,}098\,\%\); es wären demnach 99,90 % zerfallen.

Für ein Präparat ist die Aussage in vielen Zusammenhängen brauchbar: Von ursprünglich \(1{,}0\cdot 10^{12}\) Kernen wären noch rund \(9{,}8\cdot 10^{8}\) übrig — gemessen an der Ausgangsmenge sehr wenig, sodass Aktivität und Strahlung stark zurückgegangen sind. Das Wort „praktisch“ ist hier also gerechtfertigt.

Zwei Einschränkungen bleiben jedoch. Erstens ist knapp eine Milliarde verbliebener Kerne keine kleine absolute Zahl; ob der Rest unbedenklich ist, hängt vom Nuklid, von der Strahlungsart und vom Zweck ab — für die Freigabe eines Materials genügt „praktisch vollständig“ nicht. Zweitens gilt die Aussage für einen einzelnen Kern gar nicht: Dort bleibt eine Wahrscheinlichkeit von rund 0,1 %, dass er noch ganz ist, und dieser Fall ist entweder eingetreten oder nicht. Die Aussage ist damit als grobe Faustregel für große Mengen vertretbar, als physikalisch exakte Aussage aber falsch.

Erster Satz — falsch. Schrödinger hat keinen Versuch durchgeführt. Die Box ist ein Gedankenexperiment: Sie wurde nie gebaut, nie durchgeführt, und es kam kein Tier zu Schaden. Richtig wäre: „In seinem berühmten Gedankenexperiment von 1935 beschrieb Erwin Schrödinger eine Kiste, in der eine Katze zusammen mit einem radioaktiven Präparat eingeschlossen ist.“

Zweiter Satz — teilweise richtig, aber irreführend. Zutreffend ist, dass sich der Zustand erst beim Öffnen feststellen lässt, weil die Box kein Signal nach außen lässt. Missverständlich ist die Formulierung „entschied sich“: Sie legt nahe, das Öffnen selbst verursache den Ausgang. Ausgelöst wird alles jedoch vom Zerfall des Kerns, der zu einem zufälligen Zeitpunkt geschieht. Richtig wäre: „Erst beim Öffnen der Kiste ließe sich feststellen, welcher der beiden Ausgänge eingetreten ist.“

Schrödinger meinte die Box nicht als Bauanleitung, sondern als Kritik. Um 1935 wurde darüber gestritten, wie ein Zustand zu beschreiben sei, der noch nicht gemessen wurde. Für einen Atomkern erschien es hinnehmbar, ihn vor der Messung nicht auf einen der beiden Zustände festzulegen.

Schrödinger koppelte deshalb genau diesen einen Kern über Detektor, Hammer und Phiole an ein großes, sichtbares Ereignis. Überträgt man die Beschreibung vom Kern auf die Katze, so kommt etwas heraus, das unserer Alltagserfahrung deutlich widerspricht — und genau darauf wollte er hinweisen. Die Katze ist dabei nur ein besonders auffälliger Platzhalter für „etwas Großes, das man sehen kann“; eine Lampe, die an- oder ausgeht, täte es sachlich ebenso.

Die Überschrift ist in zweifacher Hinsicht nicht haltbar. Erstens behauptet „beweisen“ ein experimentelles Ergebnis, das es nicht gibt: Ein Gedankenexperiment beweist nichts, es macht eine Frage sichtbar. Zweitens dreht sie Schrödingers Absicht um — er wollte gerade zeigen, dass die Beschreibung „gleichzeitig tot und lebendig“ unserer Erfahrung widerspricht, und nicht, dass sie zutrifft. Aus einem kritischen Einwand wird in der Überschrift ein bestätigter Befund.

Zugleich lässt sich die Zuspitzung nachvollziehen: Der eigentliche Kern der Sache — dass über einen einzelnen Atomkern vor der Messung grundsätzlich nur eine Wahrscheinlichkeit bekannt ist — klingt weniger spektakulär als eine halb tote Katze. Wer Wissenschaft verständlich machen will, darf zuspitzen; die Zuspitzung darf aber nicht das Gegenteil der Aussage behaupten.

Eine sachlich vertretbare Alternative wäre etwa: „Schrödingers Katze: Warum ein einzelner Atomkern die Physiker bis heute beschäftigt“ oder „Das Gedankenexperiment, mit dem Schrödinger 1935 die Quantenphysik in Verlegenheit brachte“. Beide Überschriften erhalten die Neugier, ohne einen Versuch oder einen Beweis zu behaupten.