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Übungen: Die Halbwertszeit berechnen

Wachstumsfaktor a aus der Halbwertszeit gewinnen, in N(t) = N(0) · at einsetzen, Einheiten im Griff behalten — und rückwärts nach der Zeit fragen.

Zum NachschlagenZurück zur ErklärungZerfallsformel, Wachstumsfaktor und die vier Beispiele noch einmal nachlesen.
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Das Rezept in fünf Schritten

AFB I

So rechnest du bei jedem radioaktiven Präparat die Restmenge aus. Bringe die Schritte in die richtige Reihenfolge.

Ziehe die Karten in die richtige Reihenfolge — mit der Tastatur: ↑/↓ verschiebt, Shift+↑/↓ wechselt nur den Fokus.
1Halbwertszeit T½ aus der Tabelle ablesen — mit Einheit
1Wachstumsfaktor a = 2−1/T½ mit sechs Nachkommastellen berechnen
1Zerfallsformel für dieses Präparat aufschreiben: N(t) = N(0) · at
1Zeit t in derselben Einheit wie T½ einsetzen und ausrechnen
1Ergebnis mit einem Überschlag prüfen: Wie viele Halbwertszeiten sind vergangen?
Schritt 5 ist der, den fast alle weglassen — und der die meisten Fehler findet. Sind 3 Halbwertszeiten vergangen, muss ungefähr ein Achtel übrig sein. Kommt etwas völlig anderes heraus, stimmt meist die Einheit von t nicht.
Ohne T½ kein a, ohne a keine Formel, ohne Formel kein Einsetzen. Der Überschlag kommt ganz zum Schluss.
2

Die Zerfallskurve lesen

AFB I

Ein Präparat mit N(0) = 80 g und T½ = 10 min. Klicke im Diagramm jeweils den gesuchten Punkt an.

Klicke den gesuchten Punkt auf der Kurve an. Mit der Tastatur: Tab oder Pfeiltasten zum Wandern, Enter zum Auswählen.

80 g40 g20 g10 g0 01020304050 min
Die Punkte liegen bei 80 – 40 – 20 – 10 – 5 g. „75 % zerfallen“ heißt 25 % übrig, also zwei Halbwertszeiten — nicht anderthalb. Und nach vier Halbwertszeiten sind noch 5 g da, nicht null: Die Kurve erreicht die Achse nie.
Jede Halbwertszeit halbiert: 80 → 40 → 20 → 10 → 5. Rechne erst aus, wie viel Gramm gesucht sind, dann suche die Höhe im Diagramm.
3

Stimmt das über a und T½?

AFB I

Fünf Aussagen über die Zerfallsformel. Entscheide jeweils, ob sie stimmt.

Entscheide bei jeder Aussage: stimmt sie oder nicht? Eine falsche Einschätzung beendet die Serie — dann startest du mit „Neue Runde“ neu.
Aussage 1 von 5

Merke dir die Aussage über N(0): Die Startmenge steht vor der Potenz, die Halbwertszeit steckt in der Potenz. Beide beeinflussen das Ergebnis — aber nur T½ bestimmt, wie schnell es abwärtsgeht.
Frage dich bei jeder Aussage: Welche Größe steht in der Formel wo — vor der Potenz oder im Exponenten?
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Schritt 1 allein: der Wachstumsfaktor

AFB I

Iod-131 hat eine Halbwertszeit von 8 Tagen. Berechne den Wachstumsfaktor a für einen Tag — mit sechs Nachkommastellen.

Rechne mit dem Taschenrechner und trage das Ergebnis ein — Enter prüft direkt. Komma oder Punkt sind beide erlaubt.
a = 2−1/8 = 0,917004. Kontrolle: 0,9170048 muss 0,5 ergeben — probiere es aus. Wer stattdessen 0,92 nimmt, ist nach 24 Tagen schon um fast 10 % daneben.
Formel: a = 2−1/T½. Im Exponenten steht die Vorzeichentaste (−), nicht die Minustaste.
Eingabe: 2, xy, ( (−) 1 ÷ 8 ), = → 0,917004. Oder: ex ( (−) ln 2 ÷ 8 ).
5

Vier Zeitpunkte, ein Präparat

AFB II

N(0) = 80 g, T½ = 30 s. Berechne die Restmenge zu den vier Zeitpunkten (auf zwei Nachkommastellen).

Fülle alle Felder aus und prüfe dann. Enter in einem Feld prüft ebenfalls. Dezimalzahlen mit Komma oder Punkt.
Zeit tN(t) in g
30 s
45 s
60 s
150 s
Drei Zeilen gehen ohne Taschenrechner: 30 s, 60 s und 150 s sind 1, 2 und 5 Halbwertszeiten (40 g, 20 g, 2,5 g). Nur die 45 s brauchen die Formel: 80 g · 0,97716045 = 28,28 g — anderthalb Halbwertszeiten liegen eben nicht in der Mitte zwischen 40 g und 20 g.
Prüfe zuerst, welche Zeiten ganze Vielfache von 30 s sind — dort reicht wiederholtes Halbieren.
a = 2−1/30 = 0,977160. N(45 s) = 80 · 0,97716045 = 28,28 g. Die anderen: 40 g, 20 g, 2,5 g.
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Rechenkette: Iod-131 in der Klinik

AFB II

Ein Krankenhaus bekommt 5 mg Iod-131 geliefert (T½ = 8 d). Nach 20 Tagen wird es gebraucht. Rechne in vier Schritten.

Rechne die Kette Schritt für Schritt: Erst wenn ein Schritt stimmt, wird der nächste freigeschaltet. Enter prüft.
  1. Wachstumsfaktor für einen Tag: a = 2−1/8 = ? (sechs Nachkommastellen)
  2. Setze ein: N(20 d) = 5 mg · a20 = ? (drei Nachkommastellen)mg
  3. Wie viel Prozent der Lieferung sind das noch? (eine Nachkommastelle)%
  4. Überschlag: Wie viele Halbwertszeiten sind 20 Tage?T½
2,5 Halbwertszeiten: Nach 2 wären 25 % übrig, nach 3 nur 12,5 % — 17,7 % liegt genau dazwischen. So passt der Überschlag zum Ergebnis. Für die Klinik heißt das: Von 5 mg sind nur noch 0,884 mg nutzbar, deshalb wird Iod-131 immer erst kurz vor der Anwendung bestellt.
Schritt 1 kennst du aus Aufgabe 4. In Schritt 2 gehört t = 20 in den Exponenten — nicht 20 · a.
a = 0,917004 · N(20) = 5 · 0,91700420 = 0,884 mg · 0,884 / 5 = 17,7 % · 20 / 8 = 2,5.
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Sechs Rechnungen — drei sind falsch

AFB II

So haben sechs Schülerinnen und Schüler mit Radon-222 (T½ = 3,8 d, N(0) = 100 l) gerechnet. Klicke die drei Zeilen an, in denen ein Fehler steckt.

Klicke genau die falschen Zeilen an — die richtigen musst du stehen lassen.
Die drei Fehler sind genau die drei Stolperstellen von der Erklärungsseite: Vorzeichen im Exponenten, Einheit von t und zu frühes Runden. Zeile 5 sieht verdächtig aus, ist aber richtig — 7,6 d sind zwei Halbwertszeiten.
Prüfe drei Dinge: Ist a kleiner als 1? Steht t in Tagen? Wurde a mit sechs Nachkommastellen benutzt?
8

Halbwertszeiten zählen statt rechnen

AFB II

Bei glatten Vielfachen der Halbwertszeit brauchst du keine Formel. Wähle für jedes Nuklid, wie viele Halbwertszeiten vergangen sind und wie viel Prozent noch übrig sind.

Wähle in jedem Menü den passenden Eintrag. Alle Felder müssen stimmen.
Nuklid und ZeitHalbwertszeitenRest
Iod-131 (T½ = 8 d) nach 8 Tagen
Radon-222 (T½ = 3,8 d) nach 7,6 Tagen
Kohlenstoff-14 (T½ = 5730 a) nach 17 190 Jahren
Cäsium-137 (T½ = 30 a) nach 120 Jahren
Vier Nuklide, vier völlig verschiedene Zeiträume — von Tagen bis Jahrtausenden — und trotzdem dieselbe Reihe 50 – 25 – 12,5 – 6,25 %. Der Restanteil hängt nur von der Anzahl der Halbwertszeiten ab, nie von der Zeit selbst.
Teile die Zeit durch die Halbwertszeit — das ist die Zahl der Halbierungen. Dann halbiere 100 % so oft.
9

Umgekehrt gefragt: Wann ist Radon-220 fast weg?

AFB III

Radon-220 hat eine Halbwertszeit von 56 s. Nach welcher Zeit ist weniger als 1 % der Startmenge übrig? Schätze zuerst mit Halbwertszeiten, dann rechne genau.

Schiebe den Regler auf deinen Wert — Pfeiltasten bewegen ihn feiner. Nach dem Prüfen siehst du den Trefferbereich.
0 s800 s
Überschlag: 6 Halbwertszeiten → 1/64 ≈ 1,6 %, 7 Halbwertszeiten → 1/128 ≈ 0,8 %. Die Grenze liegt also zwischen 336 s und 392 s. Genau: 0,01 = 0,987699t → t = ln(0,01) / ln(0,987699) ≈ 372 s, gut sechs Minuten. Das Erstaunliche: „unter 1 %“ braucht nur knapp 7 Halbwertszeiten, egal wie groß die Startmenge war.
Halbiere 100 % so oft, bis du unter 1 % bist, und zähle mit. Jede Halbierung kostet 56 s.
Gesucht ist t mit at = 0,01. Logarithmieren: t = ln(0,01) / ln(a) = −4,605 / −0,012377 ≈ 372 s. Oder: t = 56 s · log₂(100) = 56 · 6,64.
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Cäsium-137 nach Tschernobyl — Schritt für Schritt

AFB III

Cäsium-137 (T½ = 30 a) belastet noch heute Böden. Ein Bauer fragt: „Wann sind 90 % des Cäsiums von 1986 zerfallen?“ Spiele die Lösung durch.

Spiele den Fall Schritt für Schritt durch. Nur die richtige Karte bringt dich weiter.
    Die Antwort für den Bauern: um das Jahr 2086. Und das Wichtigste an dieser Aufgabe ist der erste Schritt — „zerfallen“ in „übrig“ übersetzen. Wer hier 0,9 einsetzt, bekommt 4,6 Jahre heraus und merkt am Überschlag sofort, dass das nicht stimmen kann.
    Frage dich bei jedem Schritt: Rechne ich gerade mit der Restmenge oder mit der zerfallenen Menge?