MINT lernen
Start›Physik›Klasse 10›Atom- und Kernphysik›Die Halbwertszeit berechnen

Die Halbwertszeit berechnen

Aus dem Würfelversuch wird eine Formel. Wenn nach jedem Zeitabschnitt derselbe Anteil übrig bleibt, lässt sich die verbliebene Menge für jeden Zeitpunkt ausrechnen.

1

Erklärung — Vom Würfelversuch zur Zerfallsformel

Jeder Würfel ist ein Atomkern.

  • Regel:Wer eine Sechs zeigt, ist zerfallen und fliegt raus.
  • Verlust:Pro Wurf verschwindet etwa ein Sechstel.
  • Rest:Fünf Sechstel bleiben liegen — nach jedem Wurf gleich.
100Start 831. Wurf 692. Wurf 583. Wurf 484. Wurf ×⅕⁄₆×⅕⁄₆×⅕⁄₆×⅕⁄₆
Würfelversuch
\( N(t) = 100 \cdot \left(\tfrac{5}{6}\right)^{t} \)
N(t)

Verbliebene Würfel.

t

Anzahl der Würfe.

  • 1. Wurf:\( 100 \cdot \tfrac56 \approx 83 \)
  • 2. Wurf:\( 100 \cdot \tfrac56 \cdot \tfrac56 \approx 69 \)
  • Muster:Jeder Wurf hängt einen Faktor \( \tfrac56 \) an.
  • Darum:Die Wurfzahl t steht im Exponenten.
Der Kern der Sache
fester Anteil statt fester Anzahl
Pro Zeitabschnitt

Ein radioaktiver Stoff verliert keine feste Anzahl, sondern einen festen Anteil.

Folge für die Kurve

Sie wird immer flacher, erreicht aber nie null.

Die Zerfallsformel — ein Rezept in zwei Schritten

Aus dem Würfelversuch wird jetzt eine allgemeine Formel.

  • Startmenge:Statt 100 Würfeln steht eine beliebige Menge N(0).
  • Faktor:Statt fünf Sechsteln ein beliebiger Faktor a.
  • In Tabellen:Dort steht nicht a, sondern die Halbwertszeit T½.
  • Weg:Aus T½ wird a berechnet — und dann eingesetzt.
gegebenT½Halbwertszeit
→
Schritt 1\( a = 2^{-\frac{1}{T_{\frac12}}} \)Wachstumsfaktor, immer zwischen 0 und 1
→
Schritt 2\( N(t) = N(0)\cdot a^{\,t} \)Restmenge nach der Zeit t
Warum \( a = 2^{-1/T_{\frac12}} \)?Nach der Zeit T½ muss genau die Hälfte übrig sein: \( a^{\,T_{\frac12}} = \tfrac12 \). Aufgelöst nach a ergibt das die Formel. Gleichwertig: \( a = e^{-\ln 2 / T_{\frac12}} \) — die Form für die Tasten ex und ln.
Eine Einheit für allesa gehört zu einem Zeitabschnitt. Ist T½ in Sekunden, dann t auch in Sekunden; ist T½ in Tagen, dann t in Tagen. Beim Würfeln war der Zeitabschnitt ein Wurf, darum a = ⅕⁄₆.

Beispiel 1 vollständig: 10 g, T½ = 20 s

Schritt 1 — Wachstumsfaktor
\( a = 2^{-\frac{1}{20}} = 0{,}965936 \)

Pro Sekunde bleiben 96,6 % der Vorsekunde übrig.

Schritt 2 — Zerfallsformel dieses Präparats
\( N(t) = 10\ \mathrm{g} \cdot 0{,}965936^{\,t} \)

t in Sekunden einsetzen.

Eingesetzte Zeitpunkte
tN(t)Bedeutung
20 s5 g1 Halbwertszeit → die Hälfte
60 s1,25 g3 Halbwertszeiten → ein Achtel
180 s0,0195 g9 Halbwertszeiten → unter 0,2 %
266 s0,001 gUmkehrfrage: Wann ist weniger als 0,001 g da? → Zeit ausprobieren oder mit ln lösen

Drei weitere Präparate — derselbe Weg

Schritt 1 und Schritt 2 im Vergleich (Sekunden, Tage, Jahre)
StoffN(0)T½Schritt 1: aSchritt 2: Frage → Ergebnis
Radon-22010 l56 s0,987699N(180 s) = 10 l · 0,987699180 = 1,08 l · 99 % zerfallen (0,1 l übrig) nach 372 s
Radon-222100 l3,8 d0,833262N(10 d) = 100 l · 0,83326210 = 16,14 l = 16,14 % · 95 % zerfallen nach 16,4 d
Cobalt-601 µg5,3 a0,877409N(20 a) = 1 µg · 0,87740920 = 0,0731 µg ≈ 7 % · unter 5 % nach 22,9 a
  • Ablesen:Lies die Spalte a von oben nach unten.
  • Zusammenhang:Je größer T½ in ihrer Einheit, desto näher liegt a an 1.
  • Bedeutung:Desto weniger zerfällt pro Zeitabschnitt.
  • Grenze:Über 1 kann a beim Zerfall nie liegen.
Taschenrechner in einer Zeile
a = e−ln 2 ÷ T½
Tastenfolge

Für T½ = 20 s: ex ( (−) ln 2 ÷ 20 ) → 0,965936.

Vorzeichen

Das Minus ist die Vorzeichentaste, nicht die Minustaste.

Genauigkeit

a mit sechs Nachkommastellen notieren. Früheres Runden verfälscht das Ergebnis deutlich.

Der Rechner zeigt Schritt 1 (a aus T½) und Schritt 2 (Einsetzen) getrennt und zeichnet die Kurve mit den gestrichelten Halbwertszeiten. Die vier Knöpfe laden die Beispiele dieser Seite.

Zerfallsrechner

s
Schritt 1
Schritt 2
Zeit t in s N(t) in g gestrichelt: 1, 2 und 3 Halbwertszeiten

Zwei Dinge zum Beobachten: a ändert sich nur mit T½, nie mit N(0) — verdopple die Startmenge, a bleibt gleich. Und jede weitere Halbwertszeit halbiert erneut: Die Kurve nähert sich der Nulllinie, erreicht sie aber nie.

2

Hinweise

Hinweis

Einheit gemischt

a aus Sekunden gebildet, dann t in Minuten eingesetzt → völlig falsches Ergebnis. Einheit bei jedem Schritt mitschreiben.

Hinweis

Nie ganz verschwunden

Nach zwei Halbwertszeiten ist nicht alles weg, sondern ein Viertel da. Abgezogen wird immer derselbe Anteil, nie dieselbe Menge.

Hinweis

Zu früh gerundet

Aus 0,97 statt 0,965936 wird nach 180 s ein Ergebnis, das mehr als doppelt so groß ist. Sechs Nachkommastellen, immer.

Videos