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TextaufgabenDie Halbwertszeit berechnen

Fünf Sachaufgaben von der Klinik bis zur Gletschermumie — mit Operatoren, gestuften Hinweisen und vollständigem Erwartungshorizont.

Zum NachschlagenZurück zur ErklärungZerfallsformel, Wachstumsfaktor und die drei Stolperstellen noch einmal nachlesen.
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Textaufgaben

In allen fünf Aufgaben steckt derselbe Ablauf: Halbwertszeit ablesen, daraus den Wachstumsfaktor \(a=2^{-\frac{1}{T_{1/2}}}\) berechnen, in \(N(t)=N(0)\cdot a^{\,t}\) einsetzen — und prüfen, ob das Ergebnis zur Zahl der vergangenen Halbwertszeiten passt. Achte dabei auf zwei Dinge: Die Zeit \(t\) muss immer dieselbe Einheit haben wie die Halbwertszeit, und „zerfallen“ ist nicht dasselbe wie „übrig“. Zu jeder Teilaufgabe gibt es einen Hinweis und einen Erwartungshorizont — öffne den Erwartungshorizont erst, wenn du deine eigene Lösung aufgeschrieben hast.

1

Technetium-99m in der Nuklearmedizin

AFB I

Für eine Szintigrafie wird Technetium-99m eingesetzt. Es hat eine Halbwertszeit von \(T_{\frac12}=6\,\mathrm h\). Eine Klinik erhält am Morgen ein Präparat mit der Aktivität \(A(0)=600\,\mathrm{MBq}\). Für die Restaktivität gilt \(A(t)=A(0)\cdot a^{\,t}\) mit \(a=2^{-\frac{1}{T_{1/2}}}\).

  1. Gib an, was die Halbwertszeit von 6 Stunden für dieses Präparat bedeutet, und berechne den Wachstumsfaktor \(a\) für eine Stunde auf sechs Nachkommastellen.
  2. Berechne die Aktivität nach 9 Stunden.
  3. Begründe ohne Taschenrechner, dass nach 24 Stunden weniger als ein Zehntel der Anfangsaktivität übrig ist.
Hinweis zu Aufgabe a)
Halbwertszeit heißt: Nach dieser Zeit ist genau die Hälfte zerfallen. Für \(a\) tippst du 2, dann die Potenztaste, dann \(-1:6\) — das Minus mit der Vorzeichentaste.\(a\) gehört immer zu genau einem Zeitabschnitt, hier also zu einer Stunde.
Hinweis zu Aufgabe b)
Setze \(t=9\) in \(A(t)=600\,\mathrm{MBq}\cdot a^{\,t}\) ein. Achte darauf, dass \(t\) in Stunden steht — genau wie \(T_{\frac12}\).
Hinweis zu Aufgabe c)
24 Stunden sind ein glattes Vielfaches der Halbwertszeit. Zähle einfach die Halbierungen.„Begründen“ heißt hier: Rechenschritt nennen und daraus die Aussage folgern — nicht nur das Ergebnis hinschreiben.
Erwartungshorizont zu Aufgabe a)

Nach jeweils 6 Stunden ist die Hälfte der noch vorhandenen Technetium-Kerne zerfallen; die Aktivität sinkt also alle 6 Stunden auf die Hälfte.

\(a=2^{-\frac{1}{6}}=0{,}890899\). Pro Stunde bleiben rund 89,1 % der Aktivität der Vorstunde übrig.

Erwartungshorizont zu Aufgabe b)

\(A(9\,\mathrm h)=600\,\mathrm{MBq}\cdot 0{,}890899^{\,9}=600\,\mathrm{MBq}\cdot 0{,}353553=212{,}1\,\mathrm{MBq}\).

Kontrolle: 9 Stunden sind 1,5 Halbwertszeiten — das Ergebnis muss zwischen 300 MBq und 150 MBq liegen. ✓

Erwartungshorizont zu Aufgabe c)

24 h : 6 h = 4, es sind also genau 4 Halbwertszeiten vergangen. Übrig ist \(\left(\tfrac12\right)^{4}=\tfrac{1}{16}\) der Anfangsaktivität, das sind 6,25 % oder 37,5 MBq.

Wegen \(\tfrac{1}{16}<\tfrac{1}{10}\) liegt die Aktivität damit unter einem Zehntel des Anfangswertes. Ein Taschenrechner ist dafür nicht nötig — es genügt, viermal zu halbieren: 600 → 300 → 150 → 75 → 37,5 MBq.

2

Radon-222 im Kellerraum

AFB II

In einem Kellerraum wird die Radon-222-Aktivität gemessen. Nach dem Abdichten eines Risses im Boden strömt kein Radon mehr nach; die eingeschlossene Luft enthält zu diesem Zeitpunkt eine Aktivität von \(A(0)=20\,\mathrm{kBq}\). Radon-222 hat die Halbwertszeit \(T_{\frac12}=3{,}8\,\mathrm d\). Material M1 zeigt den Verlauf.

M1Aktivität des eingeschlossenen Radons
t in d A in kBq 2 4 6 8 10 12 14 16 5 10 15 20 T½ 2 T½ 3 T½

Nach jeweils 3,8 Tagen halbiert sich die Aktivität: 20 → 10 → 5 → 2,5 kBq. Die Kurve nähert sich der Zeitachse, erreicht sie aber nie.

  1. Lies aus M1 ab, nach welcher Zeit noch 10 kBq und nach welcher noch 5 kBq vorhanden sind, und erläutere, woran man im Diagramm erkennt, dass die Abnahme nicht linear ist.
  2. Berechne den Wachstumsfaktor \(a\) für einen Tag und damit die Aktivität nach 7 Tagen.
  3. Bestimme, nach welcher Zeit die Aktivität auf 10 % des Anfangswertes gesunken ist.
Hinweis zu Aufgabe a)
Suche im Diagramm die Höhen 10 kBq und 5 kBq und lies die zugehörigen Zeiten ab — die gestrichelten Linien helfen dir.Bei linearer Abnahme wären die Abstände zwischen gleich großen Verlusten gleich lang; hier werden sie immer länger.
Hinweis zu Aufgabe b)
Erst \(a=2^{-\frac{1}{3{,}8}}\) mit sechs Nachkommastellen, dann \(t=7\) einsetzen. \(T_{\frac12}\) steht in Tagen, also gehört auch \(t\) in Tagen in die Formel.
Hinweis zu Aufgabe c)
Gesucht ist die Zeit, für die \(a^{\,t}=0{,}1\) gilt. Die Zeit steht im Exponenten und muss mit dem Logarithmus herausgeholt werden: \(t=\frac{\ln 0{,}1}{\ln a}\).Alternativ: \(t=T_{\frac12}\cdot\log_2(10)\) — beide Wege führen auf denselben Wert.
Erwartungshorizont zu Aufgabe a)

10 kBq nach etwa 3,8 d (eine Halbwertszeit), 5 kBq nach etwa 7,6 d (zwei Halbwertszeiten).

Für den ersten Verlust von 10 kBq werden 3,8 Tage gebraucht, für die nächsten 5 kBq ebenfalls 3,8 Tage. Bei linearer Abnahme müsste in gleichen Zeiten immer dieselbe Menge verschwinden; hier verschwindet stattdessen immer derselbe Anteil. Deshalb wird die Kurve flacher, statt eine Gerade zu sein.

Erwartungshorizont zu Aufgabe b)

\(a=2^{-\frac{1}{3{,}8}}=0{,}833262\).

\(A(7\,\mathrm d)=20\,\mathrm{kBq}\cdot 0{,}833262^{\,7}=20\,\mathrm{kBq}\cdot 0{,}278914=5{,}58\,\mathrm{kBq}\).

Kontrolle: 7 d liegen knapp unter zwei Halbwertszeiten (7,6 d), das Ergebnis muss also knapp über 5 kBq liegen. ✓

Erwartungshorizont zu Aufgabe c)

Ansatz: \(0{,}1=0{,}833262^{\,t}\). Logarithmieren: \(t=\frac{\ln 0{,}1}{\ln 0{,}833262}=\frac{-2{,}3026}{-0{,}182404}=12{,}6\).

Antwortsatz: Nach rund 12,6 Tagen — also gut zwölfeinhalb Tagen — sind nur noch 10 % der ursprünglichen Aktivität vorhanden. Das entspricht etwa 3,3 Halbwertszeiten.

3

Cäsium-137 in Waldpilzen

AFB II

Nach dem Reaktorunglück von Tschernobyl (April 1986) gelangte Cäsium-137 in die Böden Süddeutschlands. Pilze nehmen es besonders stark auf. Cäsium-137 hat die Halbwertszeit \(T_{\frac12}=30\,\mathrm a\). Ein Bodenprofil enthielt 1986 die Aktivität \(A(0)=6{,}0\,\mathrm{kBq}\) pro Kilogramm Boden.

  1. Berechne den Wachstumsfaktor \(a\) für ein Jahr sowie die Aktivität im Jahr 2026.
  2. Bestimme, in welchem Jahr die Aktivität erstmals unter 10 % des Wertes von 1986 liegt.
  3. Ein Zeitungsartikel schreibt: „Nach 30 Jahren ist der Spuk vorbei, dann ist das Cäsium weg.“ Beurteile diese Aussage mithilfe deiner Ergebnisse.
Hinweis zu Aufgabe a)
\(a=2^{-\frac{1}{30}}\). Von 1986 bis 2026 sind es 40 Jahre — dieser Wert gehört als \(t\) in die Formel.
Hinweis zu Aufgabe b)
Löse \(0{,}1=a^{\,t}\) nach \(t\) auf und addiere die Jahreszahl 1986. Runde am Ende auf ein volles Jahr auf, denn erst dann ist der Wert wirklich unterschritten.
Hinweis zu Aufgabe c)
Vergleiche die Behauptung mit deinem Ergebnis aus a). Prüfe zwei Dinge: Was passiert nach genau 30 Jahren tatsächlich — und was bedeutet „weg“?Beim Beurteilen gehören ein klares Urteil und mindestens zwei fachliche Argumente dazu.
Erwartungshorizont zu Aufgabe a)

\(a=2^{-\frac{1}{30}}=0{,}977160\); pro Jahr bleiben also 97,716 % des Vorjahreswertes übrig.

\(t=2026-1986=40\,\mathrm a\): \(A(40)=6{,}0\,\mathrm{kBq}\cdot 0{,}977160^{\,40}=6{,}0\,\mathrm{kBq}\cdot 0{,}396851=2{,}38\,\mathrm{kBq}\) pro Kilogramm, also noch 39,7 % des Wertes von 1986.

Erwartungshorizont zu Aufgabe b)

\(0{,}1=0{,}977160^{\,t}\Rightarrow t=\frac{\ln 0{,}1}{\ln 0{,}977160}=99{,}7\,\mathrm a\).

1986 + 100 = 2086. Antwortsatz: Erst rund hundert Jahre nach dem Unglück liegt die Belastung unter einem Zehntel des Anfangswertes.

Erwartungshorizont zu Aufgabe c)

Die Aussage ist in beiden Teilen falsch.

Erstens: Nach 30 Jahren ist genau eine Halbwertszeit vergangen — es ist also noch die Hälfte vorhanden, nicht nichts. Für 2026 (40 Jahre) liefert die Rechnung sogar noch 39,7 % des Anfangswertes.

Zweitens: „Weg“ wird das Cäsium rechnerisch nie. Der Zerfall entfernt in jedem Jahr denselben Anteil, nie eine feste Menge; die Kurve nähert sich der Nulllinie beliebig weit an, ohne sie zu erreichen. Sinnvoll ist deshalb nur eine Aussage wie „unter einem Zehntel des Ausgangswertes“ — und dafür braucht es hier rund 100 Jahre.

4

Altersbestimmung mit Kohlenstoff-14

AFB III

Lebende Organismen enthalten einen festen Anteil des radioaktiven Kohlenstoff-14. Mit dem Tod hört die Aufnahme auf, und der Anteil sinkt gemäß \(N(t)=N(0)\cdot a^{\,t}\) mit \(T_{\frac12}=5730\,\mathrm a\). Der Vergleich mit einer heute lebenden Probe liefert das Alter. Bei der Gletschermumie „Ötzi“ ergaben Messungen ein Alter von rund 5300 Jahren.

  1. Berechne, welcher Anteil des ursprünglichen Kohlenstoff-14 in Ötzis Gewebe heute noch vorhanden ist.
  2. In einem Holzfund werden noch 23 % des ursprünglichen Kohlenstoff-14 gemessen. Bestimme das Alter des Fundes.
  3. Ab etwa 50 000 Jahren gilt die Methode als unbrauchbar. Beurteile diese Grenze mit einer eigenen Rechnung.
Hinweis zu Aufgabe a)
Du brauchst keinen Wachstumsfaktor für ein Jahr: Es genügt der Anteil \(\left(\tfrac12\right)^{t/T_{1/2}}\). Setze \(t=5300\,\mathrm a\) ein.
Hinweis zu Aufgabe b)
Jetzt ist der Anteil gegeben und die Zeit gesucht — also logarithmieren: \(t=T_{\frac12}\cdot\log_2\!\left(\tfrac{1}{0{,}23}\right)\).
Hinweis zu Aufgabe c)
Rechne aus, welcher Anteil nach 50 000 Jahren noch übrig ist, und überlege, warum eine so kleine Restmenge nicht mehr zuverlässig gemessen werden kann.Wie viele Halbwertszeiten sind 50 000 Jahre? Und was macht ein Messfehler von 1 % aus, wenn nur noch 0,2 % da sind?
Erwartungshorizont zu Aufgabe a)

\(\frac{N(5300)}{N(0)}=\left(\tfrac12\right)^{\frac{5300}{5730}}=2^{-0{,}925}=0{,}527\).

Es sind also noch rund 52,7 % vorhanden — knapp mehr als die Hälfte, denn 5300 Jahre sind etwas weniger als eine Halbwertszeit.

Erwartungshorizont zu Aufgabe b)

\(0{,}23=\left(\tfrac12\right)^{t/5730}\Rightarrow t=5730\,\mathrm a\cdot\log_2\!\left(\tfrac{1}{0{,}23}\right)=5730\,\mathrm a\cdot 2{,}120=12\,150\,\mathrm a\).

Antwortsatz: Der Fund ist rund 12 000 Jahre alt. Kontrolle: 23 % liegen zwischen 25 % (2 Halbwertszeiten) und 12,5 % (3 Halbwertszeiten) — das Alter muss also zwischen 11 460 a und 17 190 a liegen. ✓

Erwartungshorizont zu Aufgabe c)

50 000 a : 5730 a = 8,7 Halbwertszeiten. Übrig ist \(2^{-8{,}7}=0{,}0024\), also nur noch etwa 0,24 % des ursprünglichen Kohlenstoff-14.

Urteil: Die Grenze ist sachlich gut begründet. Bei einem Restanteil von unter einem Viertelprozent liefert die Probe nur noch sehr wenige Zerfälle pro Zeit; die Messung wird von der natürlichen Untergrundstrahlung und von kleinsten Verunreinigungen — etwa durch neueren Kohlenstoff aus dem Boden — dominiert. Schon eine Verunreinigung von 1 % frischem Material würde das gemessene Alter drastisch verfälschen. Für ältere Funde nutzt man deshalb Verfahren mit längeren Halbwertszeiten, etwa die Kalium-Argon-Methode.

5

Drei Behauptungen auf dem Prüfstand

AFB III

In einer Lerngruppe werden drei Aussagen über den radioaktiven Zerfall aufgestellt. Zwei Präparate liegen vor: Präparat A mit \(N_A(0)=10\,\mathrm g\) und \(T_{\frac12}=4\,\mathrm d\), Präparat B mit \(N_B(0)=100\,\mathrm g\) und \(T_{\frac12}=4\,\mathrm d\).

  1. „Weil B zehnmal mehr Masse hat, dauert es bei B zehnmal so lange, bis nur noch 1 % übrig ist.“ Widerlege diese Behauptung mit einer Rechnung für beide Präparate.
  2. „Nach 8 Tagen ist von A nichts mehr da, denn 8 Tage sind zwei Halbwertszeiten.“ Widerlege auch diese Behauptung und berechne die tatsächliche Restmasse.
  3. „Wenn man die Halbwertszeit verdoppelt, halbiert sich der Wachstumsfaktor \(a\).“ Entscheide begründet, ob das stimmt — rechne dazu \(a\) für \(T_{\frac12}=4\,\mathrm d\) und für \(T_{\frac12}=8\,\mathrm d\) aus.
Hinweis zu Aufgabe a)
Stelle für beide Präparate die Gleichung „Restanteil = 1 %“ auf. Beachte: Auf beiden Seiten steht die Startmenge — was passiert damit?Beim Widerlegen genügt es nicht, „stimmt nicht“ zu schreiben: Die Rechnung muss die Behauptung entkräften.
Hinweis zu Aufgabe b)
Halbiere zweimal — und schreibe auf, was nach jeder Halbierung übrig ist.
Hinweis zu Aufgabe c)
Setze beide Halbwertszeiten in \(a=2^{-\frac{1}{T_{1/2}}}\) ein und vergleiche die Ergebnisse mit der Behauptung. Überlege außerdem, welchen Wertebereich \(a\) überhaupt haben darf.
Erwartungshorizont zu Aufgabe a)

Für A: \(0{,}01\cdot 10\,\mathrm g=10\,\mathrm g\cdot a^{\,t}\). Die 10 g kürzen sich heraus, es bleibt \(0{,}01=a^{\,t}\).

Für B: \(0{,}01\cdot 100\,\mathrm g=100\,\mathrm g\cdot a^{\,t}\) — auch hier kürzt sich die Startmenge, und es bleibt dieselbe Gleichung \(0{,}01=a^{\,t}\).

Mit \(a=2^{-\frac14}=0{,}840896\) folgt für beide Präparate \(t=\frac{\ln 0{,}01}{\ln 0{,}840896}=26{,}6\,\mathrm d\). Die Behauptung ist damit widerlegt: Die Startmenge kürzt sich immer heraus, sie beeinflusst den Anteil nie. Entscheidend ist allein die Halbwertszeit — und die ist bei A und B gleich.

Erwartungshorizont zu Aufgabe b)

Nach der ersten Halbwertszeit (4 d) sind 5 g übrig, nach der zweiten (8 d) die Hälfte davon, also 2,5 g — ein Viertel der Startmasse.

Der Denkfehler steckt im Wort „zwei Halbwertszeiten“: Es wird nicht zweimal die ganze Menge abgezogen, sondern zweimal die jeweils noch vorhandene Hälfte. Rechnerisch erreicht \(N(t)=10\,\mathrm g\cdot a^{\,t}\) die Null nie, weil eine Potenz mit positiver Basis niemals null wird.

Erwartungshorizont zu Aufgabe c)

\(T_{\frac12}=4\,\mathrm d:\; a=2^{-\frac14}=0{,}840896\). \(T_{\frac12}=8\,\mathrm d:\; a=2^{-\frac18}=0{,}917004\).

Die Behauptung ist falsch. Der Faktor wird nicht halbiert, sondern größer — er rückt näher an 1. Das ist auch inhaltlich zwingend: Eine längere Halbwertszeit bedeutet, dass pro Tag weniger zerfällt, dass also mehr übrig bleibt. Außerdem muss \(a\) beim Zerfall stets zwischen 0 und 1 liegen; eine Halbierung von 0,840896 auf 0,420448 würde bedeuten, dass pro Tag fast 58 % zerfallen — das entspräche einer kürzeren Halbwertszeit von unter einem Tag.

Richtig ist stattdessen: Verdoppelt man \(T_{\frac12}\), so wird der neue Faktor die Wurzel des alten: \(\sqrt{0{,}840896}=0{,}917004\). ✓