Der Sauerstoffkern, der halten muss
AFB IIm Kern eines Sauerstoffatoms sitzen 8 Protonen und 8 Neutronen auf einem Durchmesser von etwa 6 fm (1 fm = 10−15 m). Alle Protonen sind positiv geladen. In einer Physikstunde hält eine Schülerin fest: „Nach den Regeln der Elektrik dürfte es diesen Kern gar nicht geben.“ Material M1 stellt die vier Grundkräfte gegenüber.
| Kraft | wirkt auf | relative Stärke | Reichweite |
|---|---|---|---|
| starke Kernkraft | alle Nukleonen | 1 | nur bis zum Nachbar-Nukleon (≈ 2 fm) |
| elektromagnetische Kraft | elektrische Ladungen | ≈ 10−2 | unbegrenzt, nimmt mit 1/r² ab |
| schwache Kraft | Quarks in den Nukleonen | ≈ 10−6 | kleiner als ein Nukleon |
| Gravitationskraft | alle Massen | ≈ 10−38 | unbegrenzt |
Relative Stärke: bezogen auf die starke Kernkraft bei sehr kleinem Abstand (= 1).
- Erläutern Sie, was die Schülerin mit ihrem Satz meint. Nennen Sie die Kraft, die im Sauerstoffkern für die Abstoßung verantwortlich ist.
- Geben Sie mithilfe von M1 an, welche Kraft den Kern trotzdem zusammenhält, und nennen Sie ihre vier Eigenschaften.
- Erklären Sie, warum es nicht die Gravitation sein kann, die den Kern zusammenhält — obwohl sie zwischen allen Nukleonen anziehend wirkt.
Hinweis zu Aufgabe a)
Hinweis zu Aufgabe b)
Hinweis zu Aufgabe c)
Erwartungshorizont zu Aufgabe a)
Gleichnamige Ladungen stoßen sich ab, und zwar umso stärker, je näher sie sich kommen (Beispiel: zwei geriebene Kunststoffstäbe weichen einander aus). Acht positive Protonen auf nur 6 fm sind so nah beieinander, wie es überhaupt geht — die Abstoßung ist gewaltig. Nach der Elektrik allein müsste der Kern sofort auseinanderfliegen.
Verantwortlich für die Abstoßung ist die elektromagnetische Kraft.
Erwartungshorizont zu Aufgabe b)
Den Kern hält die starke Kernkraft zusammen (relative Stärke 1, größte Zeile in M1).
Ihre Eigenschaften: (1) Sie hält den Kern gegen die Abstoßung der Protonen zusammen. (2) Bei sehr kleinen Abständen ist sie größer als die elektromagnetische Kraft. (3) Ihre Reichweite ist winzig — nur bis zum Nachbar-Nukleon, danach praktisch null. (4) Sie wirkt zwischen allen Nukleonen (p–p, n–n, p–n); die Ladung spielt für sie keine Rolle.
Erwartungshorizont zu Aufgabe c)
Nach M1 ist die Gravitation etwa 10−38-mal so stark wie die Kernkraft, die elektromagnetische Kraft dagegen etwa 10−2. Die Gravitation ist also rund 1036-mal — 36 Zehnerpotenzen — schwächer als die Abstoßung, die sie überwinden müsste. Dass sie anziehend wirkt und unbegrenzt reicht, hilft nichts: Gegen die elektrische Abstoßung der Protonen ist sie völlig bedeutungslos. Sie fällt uns im Alltag nur auf, weil sie sich bei großen Massen nie aufhebt.
Zwei Protonen auf Abstand
AFB IIDer Kraft-Vergleicher der Erklärung berechnet für zwei Protonen die elektrische Abstoßung und die starke Kernkraft in derselben Einheit. Für die Abstoßung gilt dort Fel = 225 : r² (r in fm, F in Einheiten). Die Werte der Kernkraft stammen aus dem Modell des Applets (Material M2).
| Abstand r in fm | 1,0 | 1,5 | 2,0 | 2,5 | 3,0 | 4,0 |
|---|---|---|---|---|---|---|
| elektrische Abstoßung Fel | 225 | 100 | 56 | ? | 25 | 14 |
| starke Kernkraft FK | 378 | 164 | 71 | 31 | 14 | 2,5 |
Alle Werte in „Einheiten“ des Applets, gerundet. Ein Feld ist offen gelassen.
- Berechnen Sie den fehlenden Wert der Abstoßung bei r = 2,5 fm und zeigen Sie, dass sich Fel beim Verdoppeln des Abstands von 1,0 fm auf 2,0 fm auf ein Viertel verringert.
- Ermitteln Sie aus M2, zwischen welchen Abständen die Kernkraft die Abstoßung nicht mehr überwiegt. Beschreiben Sie, was mit den beiden Protonen ab diesem Abstand geschieht.
- Vergleichen Sie, wie sich die beiden Kräfte zwischen 1,0 fm und 4,0 fm verändern, und erläutern Sie damit die Aussage „Die Kernkraft hat eine winzige Reichweite, die Abstoßung nicht“.
Hinweis zu Aufgabe a)
Hinweis zu Aufgabe b)
Hinweis zu Aufgabe c)
Erwartungshorizont zu Aufgabe a)
Fel(2,5 fm) = 225 : 2,5² = 225 : 6,25 = 36 Einheiten.
Fel(1,0 fm) = 225 : 1 = 225; Fel(2,0 fm) = 225 : 4 = 56,25. Quotient: 56,25 : 225 = 0,25 = ¼. Doppelter Abstand bedeutet ein Viertel der Kraft — das ist genau das 1/r²-Verhalten.
Erwartungshorizont zu Aufgabe b)
Bis 2,0 fm ist FK größer als Fel (71 > 56). Bei 2,5 fm ist es zum ersten Mal umgekehrt (31 < 36). Der Umschlagpunkt liegt also zwischen 2,0 fm und 2,5 fm (im Applet bei etwa 2,3 fm).
Ab diesem Abstand überwiegt die Abstoßung: Die Kernkraft kann die Protonen nicht mehr halten, sie fliegen auseinander. Im Kern bedeutet das: Nur Nukleonen, die direkt benachbart sind, werden von der Kernkraft gebunden.
Erwartungshorizont zu Aufgabe c)
Elektrische Abstoßung: von 225 auf 14 Einheiten, also etwa Faktor 16 (= 4²) — sie wird kleiner, bleibt aber deutlich vorhanden.
Kernkraft: von 378 auf 2,5 Einheiten, also um mehr als Faktor 150 — bei 4 fm ist sie praktisch verschwunden.
Genau das meint „winzige Reichweite“: Die Kernkraft bricht innerhalb weniger Femtometer auf nahezu null zusammen, während die Abstoßung nur langsam mit 1/r² abnimmt und niemals null wird. Deshalb spürt ein Proton die Kernkraft nur seiner Nachbarn, die Abstoßung aber von allen Protonen des Kerns.
Paare zählen im großen Kern
AFB IIEin Proton stößt jedes andere Proton im Kern ab — egal, wie weit es entfernt ist. Die Abstoßung „zählt“ also alle Protonenpaare. Die Kernkraft dagegen bindet nur direkte Nachbarn, und ein Nukleon hat höchstens etwa 12 Nachbarn, egal wie groß der Kern ist. Die Anzahl der Paare unter Z Protonen berechnet man mit
Anzahl der Paare = Z · (Z − 1) : 2
Material M3 vergleicht drei Kerne.
| Kern | Protonen Z | Neutronen N | Protonenpaare | Nachbarn pro Nukleon (höchstens) |
|---|---|---|---|---|
| Sauerstoff-16 | 8 | 8 | 28 | 12 |
| Calcium-40 | 20 | 20 | ? | 12 |
| Uran-238 | 92 | 146 | ? | 12 |
Für Sauerstoff-16 ist die Zahl der Protonenpaare bereits eingetragen: 8 · 7 : 2 = 28.
- Berechnen Sie die Anzahl der Protonenpaare für Calcium-40 und Uran-238.
- Bestimmen Sie, um welchen Faktor die Protonenzahl von Sauerstoff-16 zu Uran-238 wächst — und um welchen Faktor die Anzahl der Protonenpaare. Interpretieren Sie den Unterschied.
- Erklären Sie mit M3, warum die Kernkraft in großen Kernen das „Rennen“ gegen die Abstoßung verliert, obwohl sie pro Nachbarpaar viel stärker ist.
Hinweis zu Aufgabe a)
Hinweis zu Aufgabe b)
Hinweis zu Aufgabe c)
Erwartungshorizont zu Aufgabe a)
Calcium-40: 20 · 19 : 2 = 190 Paare.
Uran-238: 92 · 91 : 2 = 4186 Paare.
Erwartungshorizont zu Aufgabe b)
Protonen: 92 : 8 = 11,5 — die Protonenzahl wächst um den Faktor 11,5.
Protonenpaare: 4186 : 28 ≈ 149,5 — die Anzahl der Paare wächst um den Faktor rund 150.
Deutung: Die Abstoßung summiert sich über alle Paare. Sie wächst also nicht mit der Protonenzahl, sondern viel schneller — ungefähr mit ihrem Quadrat. Uran hat gut zehnmal so viele Protonen wie Sauerstoff, aber rund 150-mal so viel elektrische Abstoßung im Kern.
Erwartungshorizont zu Aufgabe c)
Die Kernkraft, die ein Nukleon spürt, kommt nur von seinen direkten Nachbarn — und deren Zahl bleibt bei höchstens 12, ob im Sauerstoff- oder im Urankern. Die gesamte Kernkraft wächst deshalb nur etwa proportional zur Anzahl der Nukleonen.
Die Abstoßung dagegen wächst mit der Anzahl aller Protonenpaare, also viel schneller (b: Faktor 150 statt 11,5). Pro Nachbarpaar ist die Kernkraft zwar deutlich stärker (M2: 378 gegen 225 Einheiten bei 1 fm), aber sie muss in großen Kernen gegen immer mehr Paare antreten, die sie selbst gar nicht erreicht. Irgendwann reicht ihr Vorsprung nicht mehr — der Kern wird instabil.
Warum schwere Kerne Neutronen sammeln
AFB IIIIn der Nuklidkarte fällt auf: Leichte stabile Kerne haben etwa gleich viele Protonen und Neutronen, schwere Kerne deutlich mehr Neutronen. Material M4 zeigt einige stabile bzw. sehr langlebige Kerne.
In einem Lernvideo wird behauptet: „Ein Kern mit 100 Protonen und 100 Neutronen wäre ein besonders stabiler Kern, weil er perfekt ausgeglichen ist.“
| Kern | Protonen Z | Neutronen N | Verhältnis N : Z |
|---|---|---|---|
| Helium-4 | 2 | 2 | 1,00 |
| Sauerstoff-16 | 8 | 8 | 1,00 |
| Calcium-40 | 20 | 20 | 1,00 |
| Eisen-56 | 26 | 30 | ? |
| Zinn-120 | 50 | 70 | ? |
| Blei-208 | 82 | 126 | ? |
| Uran-238 | 92 | 146 | ? |
Uran-238 ist nicht stabil, zerfällt aber so langsam, dass es seit der Entstehung der Erde noch zur Hälfte vorhanden ist.
- Berechnen Sie die fehlenden Verhältnisse N : Z (auf zwei Nachkommastellen) und beschreiben Sie den Trend.
- Erklären Sie mithilfe der Eigenschaften der Grundkräfte, warum zusätzliche Neutronen einen großen Kern stabiler machen — zusätzliche Protonen aber nicht.
- Beurteilen Sie die Behauptung aus dem Lernvideo.
Hinweis zu Aufgabe a)
Hinweis zu Aufgabe b)
Hinweis zu Aufgabe c)
Erwartungshorizont zu Aufgabe a)
Eisen-56: 30 : 26 ≈ 1,15. Zinn-120: 70 : 50 = 1,40. Blei-208: 126 : 82 ≈ 1,54. Uran-238: 146 : 92 ≈ 1,59.
Trend: Bis etwa Calcium sind Protonen und Neutronen gleich häufig (N : Z = 1). Je schwerer der Kern, desto größer wird der Neutronenüberschuss — bei Blei und Uran kommen auf ein Proton etwa 1,5 bis 1,6 Neutronen.
Erwartungshorizont zu Aufgabe b)
Ein zusätzliches Proton bringt zweierlei mit: Kernkraft auf seine Nachbarn — und elektrische Abstoßung auf alle anderen Protonen des Kerns, denn die elektromagnetische Kraft wirkt auf Ladungen und hat unbegrenzte Reichweite. Die Abstoßung wächst dabei mit der Zahl der Protonenpaare, also schneller als die Kernkraft.
Ein zusätzliches Neutron bringt nur Kernkraft mit: Die starke Kernkraft wirkt auf alle Nukleonen, unabhängig von der Ladung. Abstoßung fügt das Neutron nicht hinzu, weil es ungeladen ist. Neutronen sind deshalb „Kitt ohne Sprengstoff“ — sie vergrößern die Anziehung, ohne die Abstoßung zu erhöhen. Große Kerne brauchen davon umso mehr, je mehr Protonenpaare sich abstoßen.
Erwartungshorizont zu Aufgabe c)
Die Behauptung ist falsch. Ein Kern mit Z = 100 und N = 100 hätte das Verhältnis N : Z = 1,00 — das ist der Wert leichter Kerne bis Calcium. Für einen Kern mit 100 Protonen wären nach dem Trend in M4 (Blei 1,54; Uran 1,59) rund 160 Neutronen nötig, um überhaupt in die Nähe der Stabilität zu kommen.
Mit 100 Protonen gibt es 100 · 99 : 2 = 4950 abstoßende Protonenpaare — mehr als bei Uran. Nur 100 Neutronen lieferten viel zu wenig zusätzliche Kernkraft; die Abstoßung würde sofort überwiegen, der Kern könnte nicht einmal für kurze Zeit existieren. „Perfekt ausgeglichen“ ist also kein Kriterium für Stabilität — entscheidend ist, dass genügend Neutronen die Abstoßung der Protonenpaare ausgleichen. Tatsächlich ist ohnehin kein Kern mit mehr als 82 Protonen stabil; selbst mit optimaler Neutronenzahl zerfällt ein Kern mit 100 Protonen (Fermium) innerhalb von Tagen.
Drei Behauptungen aus dem Physik-Forum
AFB IIIIn einem Online-Forum diskutieren drei Nutzer über den Atomkern. Ihre Beiträge sind in Material M5 zusammengefasst.
| Nutzer | Behauptung |
|---|---|
| quarkstrudel | „Im Kern ist so viel Masse auf so engem Raum — da hält natürlich die Gravitation alles zusammen, wie bei einem Stern.“ |
| lena_p | „Der Name ‚schwache Kraft‘ ist Unsinn. Eine Kraft, die ein Neutron in ein Proton verwandeln kann und die Sonne zum Leuchten bringt, ist alles andere als schwach.“ |
| ferminator | „Hätte die Kernkraft unbegrenzte Reichweite wie die elektrische Kraft, dann gäbe es keine Radioaktivität — jeder Kern wäre stabil.“ |
Für die relativen Stärken und Reichweiten siehe M1 aus Aufgabe 1.
- Widerlegen Sie die Behauptung von quarkstrudel mithilfe der Zahlen aus M1.
- Nehmen Sie zu lena_p Stellung: Worauf bezieht sich das Wort „schwach“ tatsächlich, und inwiefern hat lena_p trotzdem einen Punkt?
- Beurteilen Sie die Überlegung von ferminator. Begründen Sie, was die Reichweite der Kernkraft mit der Größe instabiler Kerne zu tun hat.
Hinweis zu Aufgabe a)
Hinweis zu Aufgabe b)
Hinweis zu Aufgabe c)
Erwartungshorizont zu Aufgabe a)
Nach M1 ist die Gravitation etwa 10−38-mal so stark wie die Kernkraft, die elektrische Abstoßung etwa 10−2-mal. Die Gravitation ist also im Kern rund 1036-mal schwächer als die Abstoßung, die sie überwinden müsste. „Viel Masse auf engem Raum“ ändert daran nichts: Die Masse eines Kerns ist winzig (ein Urankern wiegt etwa 4 · 10−25 kg), und die Protonen sind nicht nur dicht beieinander, sondern auch elektrisch geladen — die Abstoßung wächst beim Zusammenrücken genauso wie die Gravitation. Der Vergleich mit einem Stern hinkt: Sterne bestehen aus insgesamt neutraler Materie, dort hebt sich die elektrische Kraft auf, und die Gravitation ist die einzige, die übrig bleibt. Im Kern hält allein die starke Kernkraft.
Erwartungshorizont zu Aufgabe b)
Das Wort „schwach“ bezieht sich auf die Stärke der Kraft im Vergleich zu den anderen: Nach M1 ist sie etwa eine Million Mal schwächer als die Kernkraft und noch 10 000-mal schwächer als die elektromagnetische Kraft, außerdem hat sie eine noch kleinere Reichweite. In diesem Sinn ist der Name völlig zutreffend — lena_p verwechselt Stärke mit Bedeutung.
Einen Punkt hat sie trotzdem: Die schwache Kraft ist die einzige, die Teilchen ineinander umwandeln kann (Neutron → Proton beim Beta-Zerfall). Ohne sie gäbe es keine Kernfusion in der Sonne und viele radioaktive Zerfälle nicht. „Schwach“ heißt also nicht „unwichtig“ — es sagt nur etwas über die Größe der Kraft aus, nicht über ihre Rolle. Man könnte lena_p entgegnen: Sie ist schwach, aber unersetzlich.
Erwartungshorizont zu Aufgabe c)
Die Überlegung ist im Kern richtig. Große Kerne werden instabil, weil die Kernkraft nur Nachbarn bindet und deshalb nur etwa mit der Nukleonenzahl wächst, während die Abstoßung mit der Zahl aller Protonenpaare wächst (Aufgabe 3). Hätte die Kernkraft unbegrenzte Reichweite, würde auch sie zwischen allen Nukleonenpaaren wirken — und zwar zwischen p–p, n–n und p–n. Sie würde dann mindestens so schnell mitwachsen wie die Abstoßung, und da sie pro Paar rund 100-mal stärker ist, gewönne sie in jedem Kern. Instabile große Kerne — und damit der Alpha-Zerfall schwerer Kerne — gäbe es so nicht.
Einschränkung: „Jeder Kern wäre stabil“ geht zu weit. Der Beta-Zerfall beruht auf der schwachen Kraft, nicht auf der Konkurrenz von Kernkraft und Abstoßung; Kerne mit ungünstigem Neutronenverhältnis würden weiterhin zerfallen. Und eine Kernkraft mit unbegrenzter Reichweite hätte eine noch drastischere Folge: Sie würde auch benachbarte Atomkerne aneinanderziehen — Materie, wie wir sie kennen, könnte gar nicht existieren. Die winzige Reichweite ist also kein Mangel, sondern die Voraussetzung dafür, dass es überhaupt getrennte Atome gibt.