Zehn Aufgaben zum Würfelmodell des radioaktiven Zerfalls — Messreihe lesen, Halbwertszeit ablesen und berechnen, Modell und Wirklichkeit unterscheiden.
Ordne jede Karte der Rolle zu, die sie im Würfelmodell des radioaktiven Zerfalls spielt.
Ziehe die Karten in den passenden Korb — oder wähle eine Karte mit Tab und Enter und drücke dann die Ziffer des Korbs (0 legt sie zurück).
1steht für einen noch nicht zerfallenen Kern
2steht für einen Zerfall
3steht für die Zeit
Ein Modell ist nur dann brauchbar, wenn jeder Teil des Versuchs eine feste Entsprechung in der Wirklichkeit hat. Beachte: Ein Wurf steht für einen Zeitschritt — aber nicht für eine feste Anzahl Sekunden.
Frage dich bei jeder Karte: Ist das ein Kern, ein Ereignis oder eine Zeitangabe?
2
Stimmt das?
AFB I
Entscheide bei jeder Aussage, ob sie zum Würfelexperiment korrekt ist.
Tippe auf „Stimmt“ oder „Stimmt nicht“. Danach erscheint die Begründung.
Aussage 1 von 6
Drei stimmen, drei nicht. Die beiden häufigsten Fehler: „Der Würfel merkt sich etwas“ und „ein Sechstel heißt Halbwertszeit sechs“.
Zwei Aussagen behaupten, der Würfel oder der Kern habe ein Gedächtnis.
3
Der Versuch in einem Merktext
AFB I
Vervollständige den Merktext zum Würfelexperiment.
Wort anklicken, dann Lücke anklicken (oder umgekehrt). Ein Klick auf eine gefüllte Lücke legt das Wort zurück.
Der radioaktive Zerfall ist ein . Deshalb lässt er sich durch ein nachbauen: 100 Würfel stehen für 100 Atomkerne. Wer eine zeigt, gilt als zerfallen und wird aussortiert; geworfen wird danach nur noch der . Die Wahrscheinlichkeit bleibt bei jedem Wurf ein . Die Anzahl der Würfe, nach der nur noch die Hälfte im Spiel ist, heißt .
Dieser Text ist der ganze Versuch in vier Sätzen. Achte auf den Unterschied zwischen der Wahrscheinlichkeit (ein Sechstel pro Wurf) und der Halbwertszeit (rund vier Würfe).
Zwei Lücken enthalten Zahlwörter — eines davon ist ein Bruchteil.
4
Der Versuchsablauf in der richtigen Reihenfolge
AFB II
Bringe die Schritte einer vollständigen Versuchsrunde in die richtige Reihenfolge.
Ziehe die Karten in die richtige Reihenfolge — mit der Tastatur: ↑/↓ verschiebt.
1100 Würfel bereitlegen und die Startanzahl N(0) = 100 notieren
2Alle Würfel gleichzeitig werfen — ein Zeitschritt vergeht
3Alle Würfel mit einer Sechs aussortieren
4Die verbliebenen Würfel zählen und in die Tabelle eintragen
5Nur mit den verbliebenen Würfeln weiterwerfen
6Die Wertepaare ins Diagramm eintragen und bei N = 50 die Halbwertszeit ablesen
Der entscheidende Schritt ist der vorletzte: Wer alle 100 Würfel weiterwirft, misst gar nichts — der Bestand bliebe ja gleich groß.
Erst notieren, dann werfen. Und was passiert direkt nach dem Wurf mit den Sechsen?
5
Im Diagramm die richtige Stelle finden
AFB II
Klicke im Diagramm der Unterrichts-Messreihe genau die Stelle an, nach der gefragt wird.
Klicke die gesuchte Stelle an. Mit der Tastatur: Tab zum Wandern, Enter zum Auswählen.
Die Kurve fällt erst steil, dann immer flacher: Es scheidet zwar immer derselbe Anteil aus, aber von einem immer kleineren Bestand. Bei 100 Würfeln sind das rund 17, bei 12 Würfeln nur noch etwa 2.
Suche auf der senkrechten Achse zuerst den Wert und gehe dann waagerecht zur Kurve.
6
Wie viele bleiben nach einem Wurf?
AFB II
Ein Kurs wirft 300 Würfel gleichzeitig. Wie viele Würfel bleiben nach diesem einen Wurf zu erwarten? (Erwartungswert, ganze Würfel)
Rechne selbst und trage das Ergebnis ein — Enter prüft direkt.
Pro Wurf scheidet ein Sechstel aus, es bleiben also fünf Sechstel übrig: 300 · 5/6 = 250 Würfel. Der Erwartungswert ist kein Versprechen — ein echter Wurf liefert vielleicht 243 oder 261. Je größer die Anzahl, desto näher liegt das Ergebnis am Erwartungswert.
Wie groß ist der Anteil, der übrig bleibt?
300 · 5/6 — oder: 300 ÷ 6 = 50 scheiden aus, der Rest bleibt.
7
Kreuztabelle: Modell und Wirklichkeit
AFB II
Setze in jeder Zeile ein Kreuz, wo die Eigenschaft zutrifft. Trifft sie auf beide zu, gehört das Kreuz in alle drei Spalten.
Enter setzt und löscht ein Kreuz.
Eigenschaft
Würfelmodell
radioaktiver Zerfall
beides
Feste Wahrscheinlichkeit pro Zeitschritt
Zeit wird in Schritten ohne Einheit gemessen
Der Einzelfall ist nicht vorhersagbar
Der Gegenstand wandelt sich in einen anderen Stoff um
Beteiligt sind Milliarden Milliarden Objekte
Der Verlauf ist eine fallende Exponentialkurve
Die drei Zeilen mit Kreuzen überall sind genau der Grund, warum das Modell überhaupt funktioniert. Die anderen drei markieren seine Grenzen — deshalb kann man aus einem Wurf keine Sekunde machen.
Frage dich zuerst: Gilt die Zeile für den Zerfall? Dann: Gilt sie auch für die Würfel?
8
Fehlersuche im Versuchsprotokoll
AFB II
In diesem Protokoll stecken drei Fehler. Klicke genau die falschen Zeilen an — die richtigen musst du stehen lassen.
Klicke genau die falschen Zeilen an.
Alle drei Fehler haben denselben Kern: Man verwechselt die Wahrscheinlichkeit pro Wurf mit der Halbwertszeit und hält den Zufall für einen Bedienfehler.
Drei Zeilen sind reine Beobachtungen — die können gar nicht falsch sein. Prüfe die drei Zeilen, die eine Begründung enthalten.
9
Rechenkette: Von der Wahrscheinlichkeit zur Halbwertszeit
AFB III
Ein Kurs startet mit 240 Würfeln. Rechne den erwarteten Verlauf Schritt für Schritt durch. Runde jeweils auf ganze Würfel.
Rechne die Kette Schritt für Schritt. Erst wenn ein Schritt stimmt, wird der nächste freigeschaltet.
Wie viele Würfel bleiben nach dem 1. Wurf zu erwarten? (240 · 5/6)Würfel
Und nach dem 2. Wurf? (Rechne vom Ergebnis des 1. Wurfs weiter.)Würfel
Nach dem 4. Wurf sind es 240 · (5/6)⁴. Wie viele Würfel sind das?Würfel
Die Hälfte von 240 ist 120. Wie viele Würfel wurden nach 4 Würfen also mehr als die Hälfte? Gib die Differenz 120 − 116 an.Würfel
Nach 4 Würfen sind rund 116 Würfel übrig — schon etwas weniger als die Hälfte. Die Halbwertszeit liegt also knapp darunter, bei etwa 3,8 Würfen. Genau das bestätigt die Messreihe aus dem Unterricht, in der die 50er-Marke zwischen dem 3. und dem 5. Wurf überschritten wird.
5/6 ≈ 0,833. Multipliziere den jeweils übrigen Bestand mit diesem Faktor.
Statt mit normalen Würfeln wird der Versuch mit Zwanzigseitern durchgeführt: Als zerfallen gilt nur, wer eine 20 zeigt. Schätze, nach wie vielen Würfen der Bestand hier auf die Hälfte gefallen ist.
Schiebe den Regler auf deine Schätzung — Pfeiltasten bewegen ihn feiner. Nach dem Prüfen siehst du den Trefferbereich.
1 Wurf40 Würfe
Die Halbwertszeit liegt bei rund 14 Würfen (genau 13,5). Wichtig ist der Vergleich: Die Wahrscheinlichkeit sinkt von 1/6 auf 1/20, also auf gut ein Drittel — die Halbwertszeit wächst dabei von etwa 4 auf etwa 14 Würfe, also ungefähr auf das Dreieinhalbfache. Kleine Zerfallswahrscheinlichkeit bedeutet lange Halbwertszeit: Genau deshalb liegt die Halbwertszeit von Uran-238 bei Milliarden Jahren, die von Polonium-214 aber bei Bruchteilen einer Sekunde.
Beim normalen Würfel (1/6) waren es rund 4 Würfe. Bei 1/20 ist die Wahrscheinlichkeit etwa dreimal kleiner.
Faustregel: Halbiert sich die Wahrscheinlichkeit, so verdoppelt sich ungefähr die Halbwertszeit.
