Textaufgaben: Experiment mit Würfeln

1. Wurf: \(120-101 = 19\) Würfel. 5. Wurf: \(60-49 = 11\) Würfel.

1. Wurf: \(\dfrac{19}{120} \approx 0{,}158 = 15{,}8\,\%\).

5. Wurf: \(\dfrac{11}{60} \approx 0{,}183 = 18{,}3\,\%\).

Beide Anteile liegen nahe bei \(\tfrac{1}{6} \approx 16{,}7\,\%\) — der Anteil bleibt also ungefähr gleich, obwohl in absoluten Zahlen im 5. Wurf deutlich weniger Würfel ausscheiden. Die kleinen Abweichungen nach unten und oben sind Zufall.

Nach dem 4. Wurf sind genau 60 Würfel übrig, also die Hälfte von 120. Die Halbwertszeit dieses Versuchs beträgt damit 4 Würfe.

Probe an einer zweiten Stelle: Von 120 auf 60 sind es 4 Würfe; die 30 (ein Viertel) würden nach demselben Muster bei etwa Wurf 8 erwartet — der Messwert dort ist 29. Die Halbwertszeit bleibt also über den Verlauf konstant.

Gruppe A: \(\tfrac{1}{6}\cdot 120 = 20\) Würfel. Gemessen wurden 19 — eine Abweichung von einem Würfel.

Gruppe B: \(\tfrac{1}{6}\cdot 12 = 2\) Würfel. Gemessen wurden 0 — eine Abweichung von zwei Würfeln.

Entscheidend ist nicht die absolute, sondern die relative Abweichung. Bei Gruppe A bedeutet ein Würfel mehr oder weniger nur \(\tfrac{1}{120}\approx 0{,}8\,\%\) des Bestands; die Kurve bleibt glatt. Bei Gruppe B sind zwei Würfel bereits \(\tfrac{2}{12}\approx 17\,\%\) — ein einziger Zufall verschiebt den ganzen Kurvenverlauf sichtbar.

Der Zerfall ist ein Zufallsvorgang: Der Erwartungswert wird nur im Mittel vieler Objekte gut getroffen. Je mehr Würfel beteiligt sind, desto stärker mitteln sich die einzelnen Zufälle heraus und desto glatter wird die Kurve. Genau deshalb sind Messreihen mit wenigen Objekten zackig und solche mit vielen glatt.

Die Behauptung ist zu verwerfen. Von Wurf 0 bis Wurf 6 sind bei Gruppe B insgesamt \(12-4 = 8\) Würfel ausgeschieden. Erwartet würde \(12\cdot\left(1-\left(\tfrac{5}{6}\right)^{6}\right) \approx 12 - 4{,}0 = 8{,}0\) — also praktisch genau der gemessene Wert.

Über den gesamten Verlauf verhalten sich die Würfel damit völlig normal. Auffällig sind nur zwei einzelne Würfe, in denen zufällig keine Sechs fiel. Ein Würfel hat kein Gedächtnis: Dass zweimal nichts passiert, ist bei zwölf Würfeln keine Auffälligkeit, sondern der Normalfall. Ein Zinken-Verdacht ließe sich nur durch eine deutlich längere Messreihe oder viele Wiederholungen erhärten, nicht durch einen einzelnen Wurf.

Von 4,00 kBq auf 2,00 kBq vergehen 8 Tage, von 2,00 auf 1,00 wieder 8 Tage. Die Halbwertszeit beträgt also \(T_{1/2} = 8\,\mathrm d\).

40 Tage sind \(\dfrac{40\,\mathrm d}{8\,\mathrm d} = 5\) Halbwertszeiten. Ansatz: \(A = 4{,}00\,\mathrm{kBq}\cdot\left(\tfrac{1}{2}\right)^{5}\). Ergebnis: \(A = 0{,}125\,\mathrm{kBq} = 125\,\mathrm{Bq}\).

Gemeinsam ist beiden die Form des Verlaufs: In jedem Schritt verschwindet derselbe Anteil des jeweils noch vorhandenen Bestands — beim Würfel ein Sechstel pro Wurf, beim Jod die Hälfte pro 8 Tage. Daraus folgt in beiden Fällen eine fallende Exponentialkurve mit konstanter Halbwertszeit, und in beiden Fällen ist der Einzelfall (dieser Würfel, dieser Kern) nicht vorhersagbar.

Unterschiedlich sind drei Dinge: Beim Jod läuft die Zeit stetig weiter, beim Würfel nur in Sprüngen von einem Wurf. Beim Jod sind unvorstellbar viele Kerne beteiligt, sodass die Kurve glatt ist; die 120 Würfel liefern eine sichtbar zackige Kurve. Und der Würfel bleibt derselbe Würfel, während der Jodkern sich in ein anderes Nuklid (Xenon-131) umwandelt.

Die Behauptung ist nicht haltbar. Im Würfelmodell beträgt die Halbwertszeit rund 3,8 Würfe, bei Jod-131 dagegen 8 Tage. Setzte man einen Wurf gleich einem Tag, ergäbe das eine Halbwertszeit von knapp 4 Tagen — nur etwa die Hälfte des gemessenen Werts.

Der Fehler liegt tiefer als in der Zahl: Ein Wurf ist überhaupt keine Zeitangabe, sondern nur ein Zeitschritt ohne Einheit. Das Modell bildet die Form des Zerfalls ab, nicht sein Tempo. Wollte man ein bestimmtes Nuklid nachbauen, müsste man die Zerfallswahrscheinlichkeit pro Wurf passend wählen — und selbst dann bliebe die Zuordnung „ein Wurf = eine feste Zeitspanne“ eine willkürliche Festlegung, keine physikalische Aussage.

Zwei der sechs Augenzahlen gelten als Zerfall: \(p = \dfrac{2}{6} = \dfrac{1}{3}\). Übrig bleibt pro Wurf der Anteil \(1-p = \dfrac{2}{3}\).

Ansatz: \(N(2) = 180\cdot\left(\tfrac{2}{3}\right)^{2}\). Rechnung: \(180\cdot\tfrac{4}{9} = 80\). Erwartet werden also 80 Würfel; gemessen wurden 79.

Die Hälfte von 180 sind 90 Würfel. Zwischen Wurf 1 (124 Würfel) und Wurf 2 (79 Würfel) wird dieser Wert unterschritten; die Halbwertszeit liegt also bei knapp 2 Würfen (rechnerisch 1,7).

Im Standardmodell mit \(p=\tfrac{1}{6}\) betrug sie rund 3,8 Würfe. Die Zerfallswahrscheinlichkeit wurde verdoppelt, und die Halbwertszeit ist auf ungefähr die Hälfte gesunken. Das ist der allgemeine Zusammenhang: Je größer die Zerfallswahrscheinlichkeit pro Zeitschritt, desto kürzer die Halbwertszeit — und umgekehrt. Deshalb hat Uran-238 mit einer winzigen Zerfallswahrscheinlichkeit eine Halbwertszeit von Milliarden Jahren, Polonium-214 dagegen nur Bruchteile einer Sekunde.

Vorschrift: Man verkleinert die Zerfallswahrscheinlichkeit, indem man einen Würfel mit mehr Seiten nimmt und weiterhin nur eine einzige Augenzahl als Zerfall zählt. Mit einem Zwanzigseiter gilt \(p=\tfrac{1}{20}\); die Halbwertszeit steigt auf \(T_{1/2}\approx 13{,}5\) Würfe. Mit einem hundertseitigen Würfel (oder zwei Zehnerwürfeln als Zahlenpaar 00–99) wäre \(p=\tfrac{1}{100}\) und \(T_{1/2}\approx 69\) Würfe. Allgemein: Je kleiner \(p\), desto größer die Halbwertszeit.

Grenze: Mit wachsender Halbwertszeit steigt die Zahl der nötigen Würfe. Um bei \(p=\tfrac{1}{100}\) bis zur Hälfte zu kommen, muss man 69-mal alle Würfel werfen und jedes Mal auszählen — das sprengt jede Unterrichtsstunde. Gleichzeitig muss der Startbestand groß genug bleiben: Wer 200 Würfel hat, besitzt nach zwei Halbwertszeiten nur noch 50, und die Streuung wird wieder so groß, dass die Kurve zackig wird. Beides zusammen bedeutet: Sehr lange Halbwertszeiten lassen sich im Modell zwar denken, aber nicht mehr sinnvoll messen. Genau an dieser Stelle greift man zur Rechnung statt zum Versuch.

Ansatz: \(N(6) = 100\cdot\left(\tfrac{5}{6}\right)^{6}\). Rechnung: \(\left(\tfrac{5}{6}\right)^{6}\approx 0{,}335\), also \(N(6)\approx 33{,}5\).

Nach 6 Würfen sind nur noch rund 34 von 100 Würfeln übrig — also deutlich weniger als die Hälfte. Die Aussage ist damit widerlegt; die Halbwertszeit liegt bei etwa 3,8 Würfen.

Der Denkfehler: Es wird angenommen, in sechs Würfen komme „jedes Sechstel einmal dran“. Tatsächlich wird das Sechstel aber jedes Mal vom verkleinerten Rest genommen, und der einzelne Würfel kann in allen sechs Würfen die Sechs verfehlen. Wahrscheinlichkeit pro Wurf und Halbwertszeit sind zwei verschiedene Angaben.

Für das Würfelexperiment ist Aussage 2 zutreffend: Es sind nur endlich viele Würfel im Spiel, und mit jedem Wurf sinkt die Wahrscheinlichkeit, dass ein bestimmter Würfel noch übrig ist. Nach genügend vielen Würfen ist der Becher praktisch sicher leer — im Versuch waren nach 21 Würfen noch 2 Würfel übrig.

Für die echte Probe ist die Verallgemeinerung dagegen irreführend. Rechnerisch wird \(N(t) = N_0\cdot\left(\tfrac{1}{2}\right)^{t/T_{1/2}}\) niemals genau null, sondern nähert sich der Null nur an. Vor allem aber sind in einer Probe Milliarden Milliarden Kerne beteiligt: Nach 10 Halbwertszeiten ist noch etwa ein Tausendstel da, nach 20 noch ein Millionstel — bei \(10^{20}\) Startkernen sind das immer noch \(10^{14}\) Kerne. Bei langlebigen Nukliden dauert das zudem so lange, dass „irgendwann leer“ Zeiträume von Milliarden Jahren meint. Erst wenn die letzten einzelnen Kerne übrig sind, wird der Vorgang wieder so „zackig“ wie am Ende der Würfelreihe.

Das Modell ist in einem klar benennbaren Sinn gut: Es bildet genau die Eigenschaft ab, auf die es ankommt — eine feste, sich nie ändernde Zerfallswahrscheinlichkeit pro Zeitschritt und einen im Einzelfall unvorhersagbaren Ausgang. Daraus folgen zwangsläufig dieselbe Kurvenform und eine konstante Halbwertszeit. Dass man diesen Zusammenhang in zehn Minuten selbst erzeugen kann statt Jahrmilliarden zu warten, ist sein eigentlicher Wert.

Seine Grenzen sind ebenso klar: Ein Wurf ist keine Zeit, 100 Würfel sind keine \(10^{20}\) Kerne, und ein aussortierter Würfel wandelt sich nicht in ein anderes Nuklid um. Wer das Modell für ein verkleinertes Abbild der Wirklichkeit hält, zieht daraus falsche Schlüsse — etwa den, ein Wurf entspreche einem Tag.

Mein Urteil: Als Modell für die Struktur des Zerfalls ist der Würfelversuch sehr gut, als Modell für seine Größenordnungen ungeeignet. Ein Modell ist immer nur so gut wie die Frage, die man ihm stellt — und es gehört zur sauberen Arbeit, seine Grenzen mit anzugeben.