Die Präparate der Physiksammlung
AFB IFür den Unterricht wird die Physiksammlung durchgesehen. Auf jedem Präparat steht die Aktivität, die der Hersteller angegeben hat (Material M1). Die Aktivität \(A\) ist die Anzahl \(N\) der Kernumwandlungen geteilt durch die Zeit \(t\); die Einheit 1 Becquerel (Bq) bedeutet einen Zerfall pro Sekunde.
| Präparat | Angabe auf dem Etikett |
|---|---|
| Radium-226 | \(A = 3{,}3\ \mathrm{kBq}\) |
| Cobalt-60 | \(A = 74\ \mathrm{kBq}\) |
| Americium-241 (aus einem alten Rauchmelder) | \(A = 30\ \mathrm{kBq}\) |
| Uranglas-Perle | \(A = 850\ \mathrm{Bq}\) |
Es gilt \(1\ \mathrm{kBq}=1000\ \mathrm{Bq}\) und \(1\ \mathrm{MBq}=1\,000\,000\ \mathrm{Bq}\). Alle Angaben beziehen sich auf das gesamte Präparat.
- Geben Sie für jedes der vier Präparate an, wie viele Kerne sich darin pro Sekunde umwandeln.
- Berechnen Sie, wie viele Kerne sich im Radium-Präparat während einer Schulstunde (45 Minuten) insgesamt umwandeln.
- Ein Zählgerät registriert am Uranglas in 4 Minuten 2400 Zerfälle. Entscheiden Sie, ob dieser Messwert zur Etikettenangabe passt.
Hinweis zu Aufgabe a)
Hinweis zu Aufgabe b)
Hinweis zu Aufgabe c)
Erwartungshorizont zu Aufgabe a)
Radium-226: \(3{,}3\ \mathrm{kBq}=3300\) Zerfälle pro Sekunde.
Cobalt-60: \(74\ \mathrm{kBq}=74\,000\) Zerfälle pro Sekunde. Americium-241: \(30\ \mathrm{kBq}=30\,000\) Zerfälle pro Sekunde. Uranglas: \(850\) Zerfälle pro Sekunde.
Erwartungshorizont zu Aufgabe b)
\(t=45\cdot 60\ \mathrm{s}=2700\ \mathrm{s}\)
\(N=A\cdot t=3300\ \tfrac{1}{\mathrm{s}}\cdot 2700\ \mathrm{s}=8\,910\,000\)
In einer Schulstunde wandeln sich rund 8,9 Millionen Kerne um. Das Präparat verliert dabei trotzdem praktisch nichts von seiner Substanz, weil es aus weit mehr als \(10^{18}\) Atomen besteht.
Erwartungshorizont zu Aufgabe c)
\(t=4\cdot 60\ \mathrm{s}=240\ \mathrm{s}\), also \(A=\frac{2400}{240\ \mathrm{s}}=10\ \mathrm{Bq}\).
Der Messwert liefert 10 Bq, das Etikett nennt 850 Bq. Der Messwert passt also nicht zur Angabe – er ist rund 85-mal zu klein.
Mögliche Begründung: Entweder wurde – anders als angegeben – nur ein kleiner Teil der Strahlung erfasst, oder das Etikett ist falsch. Aus einer Messung allein lässt sich die Aktivität nur dann bestimmen, wenn wirklich jeder Zerfall gezählt wird.
Milchkontrolle in der Molkerei
AFB IINach einem Reaktorunfall wird angelieferte Milch stichprobenartig kontrolliert. Für Milch gilt ein Grenzwert von \(300\ \mathrm{Bq}\) je kg. Verglichen wird immer die spezifische Aktivität \(a=\frac{A}{m}\). Für Milch kann mit \(1\ \mathrm{l}\hat{=}1\ \mathrm{kg}\) gerechnet werden. Material M2 zeigt vier Anlieferungen eines Vormittags.
| Anlieferung | Menge | gemessene Aktivität A |
|---|---|---|
| Hof Ahrens | 40 l | \(10{,}0\ \mathrm{kBq}\) |
| Hof Brandt | 150 l | \(42{,}0\ \mathrm{kBq}\) |
| Hof Cordes | 8 l | \(2{,}6\ \mathrm{kBq}\) |
| Hof Dieckmann | 500 l | \(140{,}0\ \mathrm{kBq}\) |
Die Molkerei darf eine Anlieferung nur annehmen, wenn die spezifische Aktivität den Grenzwert von 300 Bq je kg nicht überschreitet.
- Bestimmen Sie für alle vier Anlieferungen die spezifische Aktivität und entscheiden Sie jeweils über Annahme oder Ablehnung.
- Ein Mitarbeiter sagt: „Die Lieferung von Dieckmann hat mit Abstand die höchste Aktivität, sie ist also die gefährlichste.“ Beurteilen Sie diese Aussage.
- Die abgelehnte Milch soll durch Mischen mit unbelasteter Milch gerettet werden. Berechnen Sie, wie viele Liter unbelastete Milch mindestens zugegeben werden müssen, damit der Grenzwert eingehalten wird.
Hinweis zu Aufgabe a)
Hinweis zu Aufgabe b)
Hinweis zu Aufgabe c)
Erwartungshorizont zu Aufgabe a)
Ahrens: \(a=\frac{10\,000\ \mathrm{Bq}}{40\ \mathrm{kg}}=250\ \frac{\mathrm{Bq}}{\mathrm{kg}}\) → angenommen.
Brandt: \(a=\frac{42\,000}{150}=280\ \frac{\mathrm{Bq}}{\mathrm{kg}}\) → angenommen. Cordes: \(a=\frac{2600}{8}=325\ \frac{\mathrm{Bq}}{\mathrm{kg}}\) → abgelehnt. Dieckmann: \(a=\frac{140\,000}{500}=280\ \frac{\mathrm{Bq}}{\mathrm{kg}}\) → angenommen.
Erwartungshorizont zu Aufgabe b)
Die Aussage ist nicht haltbar. Dieckmann hat zwar mit 140 kBq die größte Gesamtaktivität, verteilt sich diese aber auf 500 kg: \(280\ \frac{\mathrm{Bq}}{\mathrm{kg}}\).
Die einzige abgelehnte Lieferung ist die kleinste: Cordes mit nur 2,6 kBq, aber \(325\ \frac{\mathrm{Bq}}{\mathrm{kg}}\).
Wer ein Glas Milch trinkt, nimmt nicht die Gesamtaktivität der Lieferung auf, sondern die Aktivität seiner Portion – und die hängt an der spezifischen Aktivität. Grenzwerte werden deshalb grundsätzlich je Kilogramm festgelegt.
Erwartungshorizont zu Aufgabe c)
Betroffen ist Hof Cordes mit \(A=2600\ \mathrm{Bq}\) und \(m=8\ \mathrm{kg}\).
\(\frac{2600}{8+x}=300\ \Longrightarrow\ 8+x=\frac{2600}{300}\approx 8{,}67\ \Longrightarrow\ x\approx 0{,}67\)
Es müssen mindestens rund 0,7 Liter unbelastete Milch zugegeben werden. Sicherheitshalber wählt man etwas mehr, etwa 1 Liter; damit ergibt sich \(a=\frac{2600}{9}\approx 289\ \frac{\mathrm{Bq}}{\mathrm{kg}}\).
Anmerkung: Rechnerisch geht das Verdünnen auf, die Gesamtmenge an radioaktivem Material bleibt dabei aber unverändert. Genau deshalb ist das gezielte Verdünnen zum Unterschreiten von Grenzwerten rechtlich untersagt.
Impulsrate ist nicht Aktivität
AFB IIEine Arbeitsgruppe untersucht eine Gesteinsprobe mit einem Geiger-Müller-Zählrohr. Das Zählrohr erfasst nur den Teil der Strahlung, der durch sein Fenster tritt; hinzu kommt, dass es die überall vorhandene Untergrundstrahlung stets mitzählt. Die Messwerte stehen in Material M3.
| Messung | Dauer | gezählte Impulse |
|---|---|---|
| Nullmessung (ohne Probe) | 5 min | 600 |
| Messung mit Probe | 5 min | 75 600 |
Nach Angabe des Herstellers erfasst das Zählrohr in dieser Messgeometrie rund 5 % aller von der Probe ausgesandten Teilchen.
- Berechnen Sie die Impulsrate der Nullmessung und die Impulsrate mit Probe, jeweils in Impulsen pro Sekunde.
- Bestimmen Sie daraus die Aktivität der Gesteinsprobe.
- Eine Schülerin notiert als Ergebnis „\(A=252\ \mathrm{Bq}\)“. Erklären Sie, welchen Denkfehler sie gemacht hat und in welche Richtung ihr Wert abweicht.
Hinweis zu Aufgabe a)
Hinweis zu Aufgabe b)
Hinweis zu Aufgabe c)
Erwartungshorizont zu Aufgabe a)
Untergrund: \(\frac{600}{300\ \mathrm{s}}=2\ \frac{1}{\mathrm{s}}\)
Mit Probe: \(\frac{75\,600}{300\ \mathrm{s}}=252\ \frac{1}{\mathrm{s}}\)
Erwartungshorizont zu Aufgabe b)
Nettorate der Probe: \(252-2=250\) Impulse pro Sekunde.
Diese 250 Impulse entsprechen 5 % aller Zerfälle: \(A=\frac{250}{0{,}05}=5000\ \mathrm{Bq}=5\ \mathrm{kBq}\)
Die Probe wandelt also rund 5000 Kerne pro Sekunde um, obwohl das Gerät nur 252 Impulse pro Sekunde anzeigt.
Erwartungshorizont zu Aufgabe c)
Die Schülerin hat die Impulsrate unmittelbar als Aktivität gedeutet. Sie hat damit beide Korrekturen ausgelassen: den Abzug des Untergrunds und die Umrechnung auf den vom Zählrohr nicht erfassten Anteil.
Die zweite Auslassung wiegt weit schwerer. Die Kerne senden ihre Teilchen in alle Raumrichtungen aus; das Fenster deckt nur einen kleinen Raumwinkel ab, und nicht jedes eintretende Teilchen löst einen Impuls aus. Der wahre Wert ist deshalb größer als der abgelesene: 5000 Bq statt 252 Bq, also rund das Zwanzigfache.
Merksatz: Die Impulsrate ist eine Eigenschaft der Messanordnung, die Aktivität eine Eigenschaft des Stoffes.
Der Mensch als Strahlungsquelle
AFB IIJeder Mensch ist selbst schwach radioaktiv. Verantwortlich ist vor allem das natürliche Kalium-Isotop K-40, das in jedem Muskel steckt. Material M4 nennt einige Vergleichswerte.
| Stoff | spezifische Aktivität a |
|---|---|
| menschlicher Körper (überwiegend K-40) | ca. \(60\ \frac{\mathrm{Bq}}{\mathrm{kg}}\) |
| Bananen | ca. \(130\ \frac{\mathrm{Bq}}{\mathrm{kg}}\) |
| Paranüsse | ca. \(240\ \frac{\mathrm{Bq}}{\mathrm{kg}}\) |
| Grenzwert für Milch (nach Fukushima) | \(300\ \frac{\mathrm{Bq}}{\mathrm{kg}}\) |
Die Werte sind Größenordnungen; sie schwanken je nach Herkunft und Ernährung. Eine Banane wiegt etwa 120 g.
- Berechnen Sie die Aktivität eines Menschen mit 70 kg Masse und die Aktivität einer einzelnen Banane.
- Vergleichen Sie die Werte aus M4 mit dem Grenzwert für Milch und erläutern Sie, warum Bananen trotzdem verkauft werden dürfen.
- In einer Zeitung heißt es: „Wer eine Banane isst, verdoppelt kurzzeitig seine eigene Radioaktivität.“ Beurteilen Sie diese Aussage rechnerisch.
Hinweis zu Aufgabe a)
Hinweis zu Aufgabe b)
Hinweis zu Aufgabe c)
Erwartungshorizont zu Aufgabe a)
Mensch: \(A=60\ \frac{\mathrm{Bq}}{\mathrm{kg}}\cdot 70\ \mathrm{kg}=4200\ \mathrm{Bq}\)
Banane: \(A=130\ \frac{\mathrm{Bq}}{\mathrm{kg}}\cdot 0{,}12\ \mathrm{kg}\approx 15{,}6\ \mathrm{Bq}\)
Im Körper eines Erwachsenen zerfallen also etwa 4200 Kerne pro Sekunde.
Erwartungshorizont zu Aufgabe b)
Bananen liegen mit \(130\ \frac{\mathrm{Bq}}{\mathrm{kg}}\) unter, Paranüsse mit \(240\ \frac{\mathrm{Bq}}{\mathrm{kg}}\) dicht unter dem Milch-Grenzwert von \(300\ \frac{\mathrm{Bq}}{\mathrm{kg}}\).
Entscheidend ist außerdem, dass der Grenzwert die zusätzliche Belastung durch einen Reaktorunfall begrenzt und sich auf Nuklide wie Cs-137 bezieht. Das K-40 in Bananen ist dagegen seit jeher Bestandteil jedes Lebewesens; der Kaliumgehalt des Körpers wird zudem selbst reguliert.
Die Zahl allein sagt also noch nichts über die Gefährdung: Man muss wissen, welches Nuklid strahlt, welche Strahlungsart auftritt und ob der Stoff im Körper verbleibt.
Erwartungshorizont zu Aufgabe c)
Die Banane bringt rund 15,6 Bq mit, der Körper hat bereits 4200 Bq.
\(\frac{15{,}6}{4200}\approx 0{,}0037\), also ein Zuwachs von etwa 0,4 Prozent – und selbst der besteht nur so lange, bis das überschüssige Kalium wieder ausgeschieden ist.
Die Aussage ist damit klar falsch. Für eine Verdopplung müsste man auf einen Schlag etwa 270 Bananen essen. Der Fehler in der Zeitung ist ein Vergleich zweier verschiedener Größen: 130 gegen 60 sind spezifische Aktivitäten je Kilogramm – die Banane wiegt aber nicht 70 kg.
Zufall in der Messung
AFB IIIEin Kurs misst dasselbe Präparat mehrfach und erfasst dabei jeden Zerfall. Bei jeder Messung kommt eine etwas andere Anzahl heraus (Material M5). Der radioaktive Zerfall ist ein Zufallsprozess: Man kann nicht vorhersagen, welcher Kern als Nächstes zerfällt.
| Messreihe | Messzeit t | gezählte Zerfälle N |
|---|---|---|
| Reihe 1: drei Einzelmessungen | je 1 s | 8 · 14 · 11 |
| Reihe 2: drei Einzelmessungen | je 100 s | 1013 · 987 · 1002 |
Beide Reihen stammen vom gleichen unveränderten Präparat, gemessen am selben Nachmittag.
- Berechnen Sie aus jeder Einzelmessung die Aktivität und geben Sie für jede Reihe an, zwischen welchen Werten die Ergebnisse schwanken.
- Erklären Sie, warum die Ergebnisse der zweiten Reihe deutlich dichter beieinander liegen, obwohl das Präparat dasselbe ist.
- Ein Schüler schlägt vor, für ein sehr schwaches Präparat einfach 1 Sekunde zu messen und den Wert mit 100 zu multiplizieren, statt 100 Sekunden zu messen. Beurteilen Sie diesen Vorschlag.
Hinweis zu Aufgabe a)
Hinweis zu Aufgabe b)
Hinweis zu Aufgabe c)
Erwartungshorizont zu Aufgabe a)
Reihe 1: \(\frac{8}{1\ \mathrm{s}}=8\ \mathrm{Bq}\), ebenso 14 Bq und 11 Bq – die Werte schwanken zwischen 8 Bq und 14 Bq.
Reihe 2: \(\frac{1013}{100\ \mathrm{s}}=10{,}13\ \mathrm{Bq}\), \(\frac{987}{100\ \mathrm{s}}=9{,}87\ \mathrm{Bq}\), \(\frac{1002}{100\ \mathrm{s}}=10{,}02\ \mathrm{Bq}\) – die Werte schwanken nur zwischen 9,87 Bq und 10,13 Bq.
Die wahre Aktivität liegt offenbar bei rund 10 Bq.
Erwartungshorizont zu Aufgabe b)
Der Zerfall ist zufällig: In einer bestimmten Zeitspanne zerfallen mal ein paar Kerne mehr, mal ein paar weniger. Diese Schwankung wächst zwar mit der Zahl der Zerfälle, aber langsamer als die Zahl selbst.
In Reihe 1 bedeuten 3 Zerfälle Unterschied bereits rund 30 % des Messwerts. In Reihe 2 sind 13 Zerfälle Unterschied nur noch gut 1 % von 1000.
Je länger gemessen wird, desto stärker mitteln sich die zufälligen Ausreißer heraus – der berechnete Wert nähert sich der wahren Aktivität. Genau das zeigt auch das Applet auf der Erklärseite beim Wechsel von 1 s auf 60 s.
Erwartungshorizont zu Aufgabe c)
Der Vorschlag ist nicht geeignet, obwohl er auf den ersten Blick dasselbe zu leisten scheint.
Beide Wege liefern im Mittel dieselbe Aktivität. Die Multiplikation mit 100 vergrößert aber den zufälligen Fehler der einen Sekunde im selben Maß mit: Aus 8 statt 10 gezählten Zerfällen würden hochgerechnet 800 statt 1000 – die Abweichung von 20 % bleibt vollständig erhalten.
Bei der 100-Sekunden-Messung mitteln sich die Schwankungen dagegen über die gesamte Messzeit hinweg heraus, sodass nur noch rund 1 % Abweichung bleibt. Gerade bei schwachen Präparaten muss man daher länger messen, nicht hochrechnen.