Skalare Multiplikation: Übungen – Mathe Grundkurs

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Übungsaufgaben

Zehn interaktive Übungen zum Klicken, Ziehen und Knobeln — von AFB I bis AFB III. Jede Übung gibt dir sofort Rückmeldung; die Erklärung nach dem Prüfen zeigt, wo der typische Fehler liegt.

Vielfache von a

AFB I

Es ist a = (2, −4, 6). Welche Ergebnisse stimmen?

Mehrere Antworten sind richtig. Markiere alle zutreffenden und klicke dann auf „Prüfen“.

Der Faktor gilt für jede Zeile. −2 · (−4) = +8, und bei ½ · a wird auch die 6 halbiert.

Stimmt's? — Fünferserie

AFB I

Fünf Behauptungen über Vielfache.

Fünf Aussagen nacheinander. Eine falsche Einschätzung reicht — dann startest du die Serie mit „Neue Runde“ neu.

Aussage 1 von 5

Beim Vervielfachen werden Faktoren multipliziert, bei Summen von Vielfachen desselben Vektors addiert: 2a + 3a = 5a.

Lückentext mit Wortbank

AFB I

Setze die Fachbegriffe an die richtige Stelle — ein Wort bleibt übrig.

Wort anklicken, dann Lücke anklicken (oder umgekehrt) — mit Tab und Enter geht es genauso. Ein Klick auf eine gefüllte Lücke legt das Wort zurück.

Eine reelle Zahl, mit der man einen Vektor multipliziert, heißt . Man multipliziert Eintrag mit ihr. Ist die Zahl negativ, wird die umgekehrt. Eine Summe von Vielfachen wie 2a − 3b heißt . Für 0 < r < 1 wird der Pfeil .

Das Skalarprodukt ist etwas anderes (Kapitel 7): Dort werden zwei Vektoren miteinander verknüpft, und das Ergebnis ist eine Zahl.

Länger, kürzer, umgedreht?

AFB I

Sortiere die Vielfachen von a nach ihrer Wirkung auf den Pfeil.

Ziehe jede Karte in den passenden Korb — oder wähle sie mit Enter aus und drücke dann die Ziffer des Korbs (0 legt sie zurück).

1gleiche Richtung, länger

2gleiche Richtung, kürzer

3Gegenrichtung

Das Vorzeichen entscheidet die Richtung, der Betrag die Länge: −0,2 · a ist kürzer und umgedreht.

Linearkombination berechnen

AFB II

Berechne 2 · (1, −3, 4) − 3 · (2, 0, −1).

Trage jede Koordinate in ihr eigenes Feld ein — ↓/↑ wechselt das Feld, Enter prüft.

v₁ = v₂ = v₃ =

Erst beide Vielfache: (2, −6, 8) und (6, 0, −3). Dann subtrahieren: 8 − (−3) = 11.

Drittelpunkt einer Strecke

AFB II

Der Punkt T liegt auf der Strecke AB, ein Drittel des Weges von A entfernt. Bringe die Schritte in die richtige Reihenfolge.

Ziehe die Karten in die richtige Reihenfolge — mit der Tastatur: ↑/↓ verschiebt, Shift+↑/↓ wechselt nur den Fokus.

1AB berechnen

2Den Vektor ⅓ · AB bilden

3Zu den Koordinaten von A addieren

4T mit seinen Koordinaten angeben

5Probe: TB ist doppelt so lang wie AT

Man geht immer vom Punkt aus, an dem die Strecke beginnt — ⅓ · AB allein ist nur die Verschiebung, noch kein Punkt.

Rechenkette: Teilungspunkte

AFB II

Gegeben sind A(1 | 2 | 0) und B(7 | −1 | 9).

Rechne die Kette Schritt für Schritt: Erst wenn ein Schritt stimmt, wird der nächste freigeschaltet. Enter prüft.

erster Eintrag von AB
x₁-Koordinate von T = A + ⅓ · AB
x₃-Koordinate von T
x₂-Koordinate von U = A + ⅔ · AB

AB = (6, −3, 9); ⅓ · AB = (2, −1, 3), also T(3 | 1 | 3). U liegt bei A + (4, −2, 6) = (5 | 0 | 6).

Term und Ergebnis

AFB II

Es ist a = (1, 2, −1) und b = (0, 1, 3). Ordne jedem Term sein Ergebnis zu.

Klicke links einen Eintrag an und dann rechts den passenden — es entsteht eine Verbindungslinie. Mit der Tastatur: Enter zum Auswählen, ↑/↓ zum Wandern.

Bei 3b − a: 3 · 3 − (−1) = 10 — das Minus vor a dreht auch die −1 um.

Fehlersuche

AFB II

Sechs Rechnungen — drei davon sind falsch.

In diesem Text stecken Fehler. Klicke genau die falschen Zeilen an — die richtigen musst du stehen lassen.

Zeile 3 ist der häufigste Klammerfehler — beim Ausmultiplizieren bekommt jeder Summand den Faktor.

A10

Was macht der Faktor?

AFB III

Berechne jeweils r im Kopf und entscheide, was r · a mit dem Pfeil von a macht (a ≠ 0).

Wähle für jede Zeile eine Stufe: 1 = Nullvektor, 2 = kürzer, gleiche Richtung, 3 = länger, gleiche Richtung, 4 = kürzer, Gegenrichtung, 5 = länger oder gleich lang, Gegenrichtung. Mit der Tastatur: Tab zur Zeile, ←/→ zwischen den Stufen, Enter setzt.

1 = Nullvektor5 = länger oder gleich lang, Gegenrichtung

r = 0 · 5

r = (−2) · (−0,4)

r = 1 − 3

r = −0,5 · 1,2

r = 1,5²

(−2) · (−0,4) = 0,8 ist positiv und kleiner als 1. −0,5 · 1,2 = −0,6: kürzer und umgedreht. 1 − 3 = −2 verdoppelt die Länge und dreht um.