Vielfache eines Vektors
Multipliziert man einen Vektor mit einer Zahl \(r\) (einem Skalar), wird der Pfeil gestreckt, gestaucht oder umgedreht — die Gerade, auf der er liegt, bleibt dieselbe.
- Rechnen:\(r\cdot\vec a\): jeden Eintrag von \(\vec a\) mit \(r\) multiplizieren.
- \(r>1\):gleiche Richtung, länger; \(0\lt r\lt 1\): gleiche Richtung, kürzer.
- \(r<0\):Richtung umgekehrt, Länge das \(|r|\)-Fache.
- Sonderfälle:\(0\cdot\vec a=\vec 0\); \((-1)\cdot\vec a=-\vec a\) ist der Gegenvektor.
Wo landet die Spitze von \(r\cdot\vec a\)? Setze erst deinen Tipp (ziehen oder Pfeiltasten), dann prüfe — der Pfeil wächst vor deinen Augen.
Halte fest: \(r\cdot\vec a\) liegt immer auf der Geraden durch den Pfeil von \(\vec a\) — das Vorzeichen von \(r\) bestimmt die Richtung, der Betrag die Länge.
Rechengesetze und Linearkombinationen
Für Vielfache gelten die gewohnten Klammerregeln. Kombiniert man Vielfache mehrerer Vektoren, entstehen Linearkombinationen.
- Distributiv:\(r(\vec a+\vec b)=r\vec a+r\vec b\) und \((r+s)\vec a=r\vec a+s\vec a\).
- Assoziativ:\(r(s\vec a)=(rs)\,\vec a\).
- Linearkombination:\(r\vec a+s\vec b\) — damit beschreibt man in 6.3 Geraden und Ebenen.
Herleitung: Mittelpunkt einer Strecke
Vielfaches eines Vektors: \(r\cdot\begin{pmatrix}a_1\\a_2\\a_3\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}r\,a_1\\r\,a_2\\r\,a_3\end{pmatrix}\)
Allgemeine Hinweise
Jeden Eintrag
\(3\cdot\begin{pmatrix}1\\-2\\4\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}3\\-6\\12\end{pmatrix}\) — der Faktor gilt für alle Zeilen, nicht nur für die erste.
Minus dreht um
Ein negativer Faktor verkürzt nicht, er kehrt die Richtung um. \(-\tfrac12\vec a\) ist halb so lang und zeigt entgegen.
Faktor ausklammern
\(\begin{pmatrix}1{,}5\\3\\-4{,}5\end{pmatrix}=1{,}5\cdot\begin{pmatrix}1\\2\\-3\end{pmatrix}\) — mit ganzen Zahlen rechnet es sich leichter.