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Skalare Multiplikation

Zwei Aufgaben im Abiturformat — eine Rolltreppe im Sekundentakt und Wimpel, die gleichmäßig an einem Seil hängen.

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Rolltreppe im Kaufhaus

AFB I–II

Eine Stufe einer Rolltreppe fährt in 30 Sekunden gleichmäßig vom Fußpunkt \(A(2|0|0)\) zum oberen Ende \(B(14|0|9)\) (1 LE = 1 m).

Rolltreppe von A nach B
x1x2x3ABP
P: Position der Stufe nach 10 Sekunden.
  1. Berechnen Sie den Vektor, um den sich die Stufe pro Sekunde verschiebt.
  2. Bestimmen Sie die Position der Stufe nach 10 Sekunden.

Hinweise

Hinweis zu Aufgabe a)
Der gesamte Weg ist \(\overrightarrow{AB}\); pro Sekunde ist es ein Dreißigstel davon.
Hinweis zu Aufgabe b)
Starte in \(A\) und addiere zehnmal den Sekundenvektor.

Erwartungshorizont

Erwartungshorizont zu Aufgabe a)

\(\overrightarrow{AB}=\begin{pmatrix}12\\0\\9\end{pmatrix}\), pro Sekunde \(\tfrac1{30}\overrightarrow{AB}=\begin{pmatrix}0{,}4\\0\\0{,}3\end{pmatrix}\).

Erwartungshorizont zu Aufgabe b)

\(\overrightarrow{OA}+10\cdot\begin{pmatrix}0{,}4\\0\\0{,}3\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}6\\0\\3\end{pmatrix}\): Die Stufe ist nach 10 s in \((6|0|3)\), also 3 m hoch.

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Wimpel an einem Seil

AFB II–III

Ein Seil ist geradlinig von \(P(1|2|3)\) nach \(Q(10|-4|9)\) gespannt (1 LE = 1 m). Drei Wimpel sollen es in vier gleich lange Stücke teilen.

Seil mit Wimpeln
x1x2x3PQW₁W₂W₃
Die Wimpel W₁, W₂, W₃ teilen PQ in vier gleiche Teile.
  1. Ermitteln Sie die Koordinaten der drei Wimpel.
  2. Leiten Sie eine Formel für den Ortsvektor des Punktes \(T\), der von \(P\) aus den Anteil \(k\) (mit \(0\le k\le1\)) der Strecke \(\overline{PQ}\) zurückgelegt hat, her.
  3. Widerlegen Sie die Behauptung, dass \(R(4|0|6)\) das Seil im Verhältnis 1 : 2 teilt.

Hinweise

Hinweis zu Aufgabe a)
Ein Viertel von \(\overrightarrow{PQ}\) ist der Abstand zwischen zwei Nachbarpunkten.
Hinweis zu Aufgabe b)
Von \(P\) aus \(k\cdot\overrightarrow{PQ}\) gehen und \(\overrightarrow{PQ}=\overrightarrow{OQ}-\overrightarrow{OP}\) einsetzen.
Hinweis zu Aufgabe c)
Teilen im Verhältnis 1 : 2 heißt: ein Drittel des Weges.

Erwartungshorizont

Erwartungshorizont zu Aufgabe a)

\(\overrightarrow{PQ}=\begin{pmatrix}9\\-6\\6\end{pmatrix}\), \(\tfrac14\overrightarrow{PQ}=\begin{pmatrix}2{,}25\\-1{,}5\\1{,}5\end{pmatrix}\): \(W_1(3{,}25|0{,}5|4{,}5)\), \(W_2(5{,}5|-1|6)\), \(W_3(7{,}75|-2{,}5|7{,}5)\).

Erwartungshorizont zu Aufgabe b)

\(\overrightarrow{OT}=\overrightarrow{OP}+k\,(\overrightarrow{OQ}-\overrightarrow{OP})=(1-k)\,\overrightarrow{OP}+k\,\overrightarrow{OQ}\). Für \(k=\tfrac12\) ergibt sich die Mittelpunktformel.

Erwartungshorizont zu Aufgabe c)

Ein Drittel: \(\overrightarrow{OP}+\tfrac13\overrightarrow{PQ}=\begin{pmatrix}4\\0\\5\end{pmatrix}\). \(R\) stimmt in \(x_1\) und \(x_2\) überein, aber nicht in \(x_3\) (6 statt 5); \(R\) liegt gar nicht auf dem Seil.