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Die Punktprobe

Zwei Aufgaben im Abiturformat — ein Laserstrahl auf eine Zielscheibe und eine Stromleitung zwischen zwei Masten.

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Laserstrahl auf eine Zielscheibe

AFB I–II

Ein Laser steht in \(L(0|2|1)\) und sendet einen geradlinigen Strahl in Richtung \(\vec u=\begin{pmatrix}4\\1\\1\end{pmatrix}\) (1 LE = 1 m). Der Mittelpunkt einer Zielscheibe liegt in \(Z(12|5|4)\).

Laserstrahl
x1x2x3LZ
Trifft der Strahl den Mittelpunkt Z?
  1. Überprüfen Sie, ob der Strahl den Mittelpunkt der Zielscheibe trifft.
  2. Bestimmen Sie die Höhe des Strahls an der Stelle \(x_1=6\).

Hinweise

Hinweis zu Aufgabe a)
Punktprobe: \(\overrightarrow{OZ}=\overrightarrow{OL}+t\cdot\vec u\) zeilenweise lösen.
Hinweis zu Aufgabe b)
Aus \(x_1=6\) den Parameter bestimmen, dann \(x_3\).

Erwartungshorizont

Erwartungshorizont zu Aufgabe a)

\(4t=12\Rightarrow t=3\); \(2+3=5\) ✓; \(1+3=4\) ✓. Alle Zeilen liefern \(t=3\) — der Strahl trifft \(Z\).

Erwartungshorizont zu Aufgabe b)

\(4t=6\Rightarrow t=1{,}5\); \(x_3=1+1{,}5=2{,}5\). Der Strahl ist dort 2,5 m hoch.

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Eine Stromleitung am Hang

AFB II–III

Zwischen zwei Mastspitzen \(A(0|0|20)\) und \(B(60|40|35)\) verläuft ein straff gespanntes Seil, das als Strecke modelliert wird (1 LE = 1 m). Ein Vogelnest wird bei \(N(30|20|27{,}5)\) vermutet, eine Drohne schwebt bei \(D(45|30|31)\), die Spitze eines Krans liegt bei \(K(90|60|42{,}5)\).

  1. Untersuchen Sie, ob \(N\) und \(D\) auf dem Seil liegen.
  2. Interpretieren Sie das Ergebnis der Punktprobe für \(K\) im Sachzusammenhang.
  3. Beurteilen Sie die Aussage: „Die Drohne berührt das Seil — die Abweichung ist so klein, dass man sie vernachlässigen kann.“

Hinweise

Hinweis zu Aufgabe a)
\(\vec x=\overrightarrow{OA}+t\cdot\overrightarrow{AB}\) mit \(\overrightarrow{AB}=\begin{pmatrix}60\\40\\15\end{pmatrix}\).
Hinweis zu Aufgabe b)
Für \(K\) ergibt sich ein Parameter außerhalb von \([0;1]\).
Hinweis zu Aufgabe c)
Berechne, wie weit die Drohne senkrecht unter bzw. über dem Seil ist, und berücksichtige Modellannahmen (straffes Seil, Größe einer Drohne).

Erwartungshorizont

Erwartungshorizont zu Aufgabe a)

\(N\): alle Zeilen liefern \(t=0{,}5\) — \(N\) liegt in der Mitte des Seils. \(D\): aus \(x_1\) und \(x_2\) folgt \(t=0{,}75\), dann müsste \(x_3=20+11{,}25=31{,}25\) sein; \(D\) liegt nicht auf dem Seil.

Erwartungshorizont zu Aufgabe b)

\(K\) liefert in allen Zeilen \(t=1{,}5\): \(K\) liegt auf der Verlängerung der Geraden über \(B\) hinaus, aber nicht auf dem Seil. Die Kranspitze befindet sich genau in Seilrichtung hinter dem zweiten Mast.

Erwartungshorizont zu Aufgabe c)

Die Drohne ist nur 25 cm unter dem Punkt des Seils, der über ihr liegt. Mathematisch liegt sie nicht auf der Strecke; praktisch ist eine Drohne aber größer als 25 cm, und ein echtes Seil hängt durch. Die Aussage ist daher im Modell falsch, in der Realität plausibel — der Abstand ist gefährlich klein.