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Die Punktprobe

Drei Gleichungen, eine Unbekannte — liegt der Punkt auf der Geraden, müssen alle drei dasselbe t liefern.

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Ein t für alle drei Zeilen

Ein Punkt \(Q\) liegt auf \(g\), wenn es einen Parameterwert \(t\) gibt, der genau \(Q\) liefert. Dieser eine Wert muss in allen drei Koordinaten passen.

Herleitung:

\(\overrightarrow{OQ}=\vec p+t\cdot\vec u\)
Q einsetzen
Start: Ansatz der Punktprobe.
\(q_1=p_1+t\,u_1,\quad q_2=p_2+t\,u_2,\quad q_3=p_3+t\,u_3\)
| − pᵢ, : uᵢ
Drei Gleichungen, eine Unbekannte \(t\).
\(t=\dfrac{q_1-p_1}{u_1}=\dfrac{q_2-p_2}{u_2}=\dfrac{q_3-p_3}{u_3}\)
Ergebnis
Gleiche Werte ⇒ \(Q\in g\); verschiedene Werte ⇒ \(Q\notin g\).
  • Lösbar:alle drei Zeilen liefern dasselbe \(t\) — \(Q\) liegt auf \(g\).
  • Widerspruch:zwei Zeilen liefern verschiedene \(t\) — \(Q\) liegt nicht auf \(g\).
  • \(u_i=0\):diese Zeile enthält kein \(t\); sie ist nur erfüllt, wenn \(q_i=p_i\) gilt.

Verschiebe \(Q\) mit den Knöpfen. Jede Koordinatenzeile liefert ihren eigenen Wert \(t\) — die drei Punkte \(X(t)\) werden auf \(g\) und auf der \(t\)-Achse übereinandergelegt.

Drei t-Werte übereinander

0
0
0

Halte fest: \(Q\) liegt genau dann auf \(g\), wenn die drei Punkte \(X(t)\) zu einem einzigen verschmelzen — und der liegt dann auf \(Q\).

2

Strecken und Rechnerhilfe

Oft geht es nicht um eine ganze Gerade, sondern um eine Strecke — oder die Rechnung soll schnell gehen.

  • Strecke \(\overline{AB}\):Mit \(\vec x=\overrightarrow{OA}+t\cdot\overrightarrow{AB}\) liegt \(Q\) auf der Strecke, wenn zusätzlich \(0\le t\le1\).
  • Anteil deuten:\(t=0{,}25\) heißt: \(Q\) liegt nach einem Viertel des Weges von \(A\) nach \(B\).
  • CAS:TI-Nspire CX CAS: solve(4−t=2 and 2·t=4 and 1+t=3,t) liefert t=2; bei einem Widerspruch lautet die Ausgabe false.
Merke

Punktprobe: \(Q\in g\iff\) es gibt ein \(t\) mit \(\overrightarrow{OQ}=\vec p+t\cdot\vec u\)

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Allgemeine Hinweise

Alle Zeilen prüfen

Stimmen zwei Zeilen überein, ist noch nichts bewiesen. Erst die dritte Zeile entscheidet.

Keine Division durch 0

Ist \(u_i=0\), löst du diese Zeile nicht nach \(t\) auf, sondern vergleichst \(q_i\) direkt mit \(p_i\).

Ergebnis als Satz

Schreibe am Ende: „Für \(t=2\) sind alle Gleichungen erfüllt, also liegt \(Q\) auf \(g\).“ — oder den Widerspruch.

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