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Punkte und Vektoren

Zwei Aufgaben im Abiturformat — eine Bohrung ins Erdreich und ein Solarmodul, das verschoben wird.

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1

Eine Schrägbohrung

AFB I–II

Für eine Erdwärmesonde wird schräg gebohrt. Der Bohrpunkt an der Oberfläche liegt in \(S(12\,|\,8\,|\,0)\), das Ende der Bohrung in \(Z(15\,|\,4\,|\,-20)\) (1 LE = 1 m, die \(x_1x_2\)-Ebene ist die Erdoberfläche).

Bohrung von S nach Z
x1x2x3SZ
Nicht maßstäblich verkürzt: Z liegt 20 m unter der Oberfläche.
  1. Berechnen Sie den Vektor \(\overrightarrow{SZ}\).
  2. Deuten Sie die drei Einträge von \(\overrightarrow{SZ}\) im Sachzusammenhang.

Hinweise

Hinweis zu Aufgabe a)
Spitze minus Fuß: Koordinaten von \(Z\) minus Koordinaten von \(S\).
Hinweis zu Aufgabe b)
Was bedeutet ein negativer Eintrag bei der \(x_2\)- bzw. \(x_3\)-Richtung?

Erwartungshorizont

Erwartungshorizont zu Aufgabe a)

\(\overrightarrow{SZ}=\begin{pmatrix}15-12\\4-8\\-20-0\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}3\\-4\\-20\end{pmatrix}\).

Erwartungshorizont zu Aufgabe b)

Das Bohrende liegt 3 m weiter in \(x_1\)-Richtung und 4 m weiter in negativer \(x_2\)-Richtung als der Bohrpunkt und 20 m tief unter der Oberfläche.

2

Ein Solarmodul wird versetzt

AFB II–III

Ein dreieckiges Solarmodul hat die Ecken \(A(2\,|\,1\,|\,3)\), \(B(4\,|\,1\,|\,3)\) und \(C(4\,|\,3\,|\,4)\) (1 LE = 1 m). Es wird ohne Drehung so verschoben, dass \(A\) nach \(A'(5\,|\,-1\,|\,3)\) kommt.

Verschiebung des Moduls
x1x2x3vABCA'B'C'
Alle Ecken werden um denselben Vektor v verschoben.
  1. Ermitteln Sie den Verschiebungsvektor \(\vec v\).
  2. Bestimmen Sie die Koordinaten von \(B'\) und \(C'\).
  3. Überprüfen Sie die Aussage: „Nach der Verschiebung ist \(\overrightarrow{A'C'}\) ein anderer Vektor als \(\overrightarrow{AC}\).“

Hinweise

Hinweis zu Aufgabe a)
\(\vec v=\overrightarrow{AA'}\).
Hinweis zu Aufgabe b)
Addiere \(\vec v\) zu den Koordinaten von \(B\) und \(C\).
Hinweis zu Aufgabe c)
Berechne beide Vektoren und vergleiche — oder argumentiere allgemein mit \(\vec v\).

Erwartungshorizont

Erwartungshorizont zu Aufgabe a)

\(\vec v=\begin{pmatrix}5-2\\-1-1\\3-3\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}3\\-2\\0\end{pmatrix}\).

Erwartungshorizont zu Aufgabe b)

\(B'(7\,|\,-1\,|\,3)\), \(C'(7\,|\,1\,|\,4)\).

Erwartungshorizont zu Aufgabe c)

Die Aussage ist falsch: \(\overrightarrow{AC}=\begin{pmatrix}2\\2\\1\end{pmatrix}\) und \(\overrightarrow{A'C'}=\begin{pmatrix}2\\2\\1\end{pmatrix}\). Allgemein: \((\vec c+\vec v)-(\vec a+\vec v)=\vec c-\vec a\) — eine Verschiebung ändert keine Verbindungsvektoren.