Vom Punkt zum Vektor
Ein Vektor beschreibt eine Verschiebung: wie weit man in jede Achsenrichtung geht. Wo man startet, spielt dabei keine Rolle.
- Vektor:Verschiebung, als Spalte geschrieben: \(\vec v=\begin{pmatrix}v_1\\v_2\\v_3\end{pmatrix}\); in der Ebene mit zwei Einträgen.
- Pfeil:ein Vertreter des Vektors; alle gleich langen, parallelen, gleich gerichteten Pfeile stellen denselben Vektor dar.
- Ortsvektor:\(\overrightarrow{OP}\) führt vom Ursprung zum Punkt \(P\) und hat dieselben Einträge wie \(P\).
- Nullvektor:\(\vec 0\) — keine Verschiebung, alle Einträge 0.
Laufe mit den Schritt-Knöpfen von \(A\) nach \(B\) — jeder Knopf geht eine Einheit in eine Achsenrichtung. Der Zähler notiert deine Schritte.
Halte fest: Die gezählten Schritte in \(x_1\)-, \(x_2\)- und \(x_3\)-Richtung sind genau die Differenzen der Koordinaten — Ziel minus Start. Die Reihenfolge der Schritte ist egal.
Den Verbindungsvektor berechnen
Statt zu zählen, rechnet man: Der Vektor von \(A\) nach \(B\) entsteht, wenn man von jeder Koordinate von \(B\) die von \(A\) abzieht.
- Verbindungsvektor:\(\overrightarrow{AB}\) — „Spitze minus Fuß“: Koordinaten von \(B\) minus Koordinaten von \(A\).
- Gegenvektor:\(\overrightarrow{BA}=-\overrightarrow{AB}\): gleiche Länge, umgekehrte Richtung, alle Vorzeichen wechseln.
- Punkt verschieben:Koordinaten von \(A\) plus Einträge von \(\overrightarrow{AB}\) ergeben \(B\).
- Punkt oder Vektor?Punkte in Zeilenform mit Strichen \(A(1\,|\,2\,|\,0)\), Vektoren als Spalte.
Vektor von A nach B: \(\overrightarrow{AB}=\begin{pmatrix}b_1-a_1\\b_2-a_2\\b_3-a_3\end{pmatrix}\)
Allgemeine Hinweise
Spitze minus Fuß
Wer \(A-B\) rechnet, erhält \(\overrightarrow{BA}\) — den Gegenvektor. Alle Vorzeichen wären falsch.
Klammern bei Minus
\(b_1-a_1\) mit \(a_1=-2\) heißt \(b_1-(-2)=b_1+2\). Negative Koordinaten immer einklammern.
Probe durch Verschieben
Addiere \(\overrightarrow{AB}\) zu den Koordinaten von \(A\). Kommt \(B\) heraus, stimmt der Vektor.