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Punkte, Strecken, Körper

Zwei Aufgaben im Abiturformat — ein Ferienhaus mit Satteldach und eine gläserne Pyramide.

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Ein Ferienhaus

AFB I–II

Ein Ferienhaus hat einen rechteckigen Boden \(A(0|0|0)\), \(B(4|0|0)\), \(C(4|8|0)\), \(D(0|8|0)\) (1 LE = 1 m). Die Wände sind 3 m hoch. Der First des Satteldachs liegt 5,5 m hoch genau über der Mitte des Bodens und verläuft parallel zur \(x_2\)-Achse.

Ferienhaus mit Satteldach
x1x2x3ABCDEFGHKL
E, F, G, H: Oberkanten der Wände; K, L: Firstpunkte.
  1. Geben Sie die Koordinaten der Wandecken \(E, F, G, H\) über \(A, B, C, D\) und der Firstpunkte \(K\) (vorn) und \(L\) (hinten) an.
  2. Zeichnen Sie ein Schrägbild des Hauses und kennzeichnen Sie die verdeckten Kanten.

Hinweise

Hinweis zu Aufgabe a)
Die Wandecken liegen 3 m über den Bodenecken. Der First liegt über der Mitte der 4-m-Seite.
Hinweis zu Aufgabe b)
Erst alle Punkte eintragen, dann verbinden; verdeckt sind die Kanten an der hinteren linken Ecke A und die hintere Dachfläche.

Erwartungshorizont

Erwartungshorizont zu Aufgabe a)

\(E(0|0|3)\), \(F(4|0|3)\), \(G(4|8|3)\), \(H(0|8|3)\), \(K(2|0|5{,}5)\), \(L(2|8|5{,}5)\).

Erwartungshorizont zu Aufgabe b)

Schrägbild wie in der Skizze: \(x_1\)-Einheiten als Kästchendiagonalen, \(x_2\)- und \(x_3\)-Einheiten je 2 Kästchen. Gestrichelt: \(AB\), \(AD\), \(AE\), \(EH\), \(EK\) — die Kanten, die nur an verdeckten Flächen (Boden, Rückwand, linker Giebel, hintere Dachfläche) liegen.

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Eine gläserne Pyramide

AFB II–III

Eine gläserne Pyramide hat eine quadratische Grundfläche mit \(A(0|0|0)\), \(B(8|0|0)\), \(C(8|8|0)\), \(D(0|8|0)\) und die Spitze \(S(4|4|6)\) (1 LE = 1 m).

Pyramide ABCDS
x1x2x3ABCDS
Die Spitze liegt über dem Mittelpunkt der Grundfläche.
  1. Bestimmen Sie den Mittelpunkt \(M\) der Kante \(\overline{CS}\).
  2. Untersuchen Sie, ob der Mittelpunkt der Kante \(\overline{AS}\) auf halber Höhe der Pyramide liegt.
  3. Beurteilen Sie die Aussage: „Der Punkt \(P(4|4|3)\) liegt auf der Kante \(\overline{AS}\).“

Hinweise

Hinweis zu Aufgabe a)
Mittelpunkt: Koordinaten mitteln.
Hinweis zu Aufgabe b)
Vergleiche die \(x_3\)-Koordinate mit der halben Höhe.
Hinweis zu Aufgabe c)
Welche Beziehung zwischen den Koordinaten gilt für alle Punkte der Kante von \(A\) nach \(S\)?

Erwartungshorizont

Erwartungshorizont zu Aufgabe a)

\(M\left(\tfrac{8+4}{2}\,\middle|\,\tfrac{8+4}{2}\,\middle|\,\tfrac{0+6}{2}\right)=M(6|6|3)\).

Erwartungshorizont zu Aufgabe b)

Mittelpunkt von \(\overline{AS}\): \((2|2|3)\). Die Höhe ist 6 m, die halbe Höhe 3 m — der Mittelpunkt liegt also auf halber Höhe. (Das gilt für jede Kante von der Grundfläche zur Spitze.)

Erwartungshorizont zu Aufgabe c)

Falsch: Auf \(\overline{AS}\) gilt \(x_1=x_2\) und \(x_3=1{,}5\cdot x_1\); für \(x_1=4\) wäre man in \(S\). \(P(4|4|3)\) liegt stattdessen auf der Höhe (senkrecht unter \(S\)), also im Inneren der Pyramide.