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Kollinearität von Vektoren

Zehn Übungen zum Faktor-Test: Ein r für alle Zeilen — sonst sind die Vektoren nicht parallel.

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Übungsaufgaben

Zehn interaktive Übungen zum Klicken, Ziehen und Knobeln — von AFB I bis AFB III. Jede Übung gibt dir sofort Rückmeldung; die Erklärung nach dem Prüfen zeigt, wo der typische Fehler liegt.

A1
Kollinear zu a?
AFB I

Welche Vektoren sind kollinear zu a = (−3, 6, 9)?

Mehrere Antworten sind richtig. Markiere alle zutreffenden und klicke dann auf „Prüfen“.
(3, 6, 9) passt nur in zwei Zeilen; bei (1, −2, 3) stimmt das Vorzeichen der dritten Zeile nicht. Der Nullvektor ist zu jedem Vektor kollinear.
A2
Stimmt's? — Fünferserie
AFB I

Fünf Behauptungen über Kollinearität.

Fünf Aussagen nacheinander. Eine falsche Einschätzung reicht — dann startest du die Serie mit „Neue Runde“ neu.
Aussage 1 von 5

Kollinear bedeutet: ein einziges r, das in jeder Zeile funktioniert.
A3
Lückentext mit Wortbank
AFB I

Setze die Fachbegriffe an die richtige Stelle — ein Wort bleibt übrig.

Wort anklicken, dann Lücke anklicken (oder umgekehrt) — mit Tab und Enter geht es genauso. Ein Klick auf eine gefüllte Lücke legt das Wort zurück.

Zwei Vektoren heißen , wenn einer ein des anderen ist. Ihre Pfeile sind dann . Man prüft das, indem man die der Einträge vergleicht. Steht in einer Zeile eine 0, darf man nicht durch teilen.

„Senkrecht“ ist das Gegenteil von parallel — dafür braucht man in Kapitel 7 das Skalarprodukt.
A4
Gleiche oder Gegenrichtung?
AFB II

Vergleiche jeden Vektor mit a = (4, −2, 1).

Ziehe jede Karte in den passenden Korb — oder wähle sie mit Enter aus und drücke dann die Ziffer des Korbs (0 legt sie zurück).
1kollinear, gleiche Richtung
2kollinear, Gegenrichtung
3nicht kollinear
(−8, 4, 2) sieht nach Faktor −2 aus, doch in der dritten Zeile müsste −2 stehen. Ein Vorzeichen reicht, um die Kollinearität zu zerstören.
A5
Fehlenden Eintrag bestimmen
AFB II

Für welches t sind (2, t, −6) und (−1, 4, 3) kollinear?

Rechne selbst und trage das Ergebnis ein — Enter prüft direkt.
Aus der ersten und dritten Zeile folgt der Faktor −2. Also t = −2 · 4 = −8.
A6
Liegen A, B, C auf einer Geraden?
AFB I

Bringe die Schritte der Prüfung in die richtige Reihenfolge.

Ziehe die Karten in die richtige Reihenfolge — mit der Tastatur: ↑/↓ verschiebt, Shift+↑/↓ wechselt nur den Fokus.
1AB berechnen
2AC berechnen
3Den Faktor r aus einer Zeile bestimmen
4r in den übrigen Zeilen prüfen
5Ergebnis als Satz formulieren
Beide Vektoren müssen denselben Anfangspunkt A haben — mit AB und CB geht es auch, aber nicht mit gemischten Richtungen.
A7
Rechenkette: drei Punkte
AFB II

Gegeben sind A(1 | 2 | 3), B(3 | 3 | 1) und C(9 | 6 | −5).

Rechne die Kette Schritt für Schritt: Erst wenn ein Schritt stimmt, wird der nächste freigeschaltet. Enter prüft.
  1. erster Eintrag von AB
  2. dritter Eintrag von AC
  3. Faktor r mit AC = r · AB
  4. y, damit D(5 | y | −1) auf der Geraden durch A und B liegt
AB = (2, 1, −2), AC = (8, 4, −8) = 4 · AB. Für D gilt AD = (4, y − 2, −4) = 2 · AB, also y − 2 = 2.
A8
Vektorpaar und Faktor
AFB II

Ordne jedem Vektorpaar den Faktor r mit „zweiter = r · erster“ zu.

Klicke links einen Eintrag an und dann rechts den passenden — es entsteht eine Verbindungslinie. Mit der Tastatur: Enter zum Auswählen, ↑/↓ zum Wandern.
Der Faktor darf eine Dezimalzahl sein: (2, 4, 6) · 1,5 = (3, 6, 9).
A9
Fehlersuche
AFB II

Sechs Notizen zur Kollinearität — drei sind falsch.

In diesem Text stecken Fehler. Klicke genau die falschen Zeilen an — die richtigen musst du stehen lassen.
Die Null-Zeile wird oft übersehen, weil man sie nicht teilen kann — sie muss trotzdem passen.
A10
Welches Viereck?
AFB III

Die Seitenvektoren eines Vierecks ABCD sind gegeben. Entscheide, welche Seiten parallel sind.

Wähle für jede Zeile eine Stufe: 1 = alle Punkte auf einer Geraden, 2 = Trapez mit AB ∥ DC, 3 = Parallelogramm, 4 = keine parallelen Seiten, 5 = Trapez mit AD ∥ BC. Mit der Tastatur: Tab zur Zeile, ←/→ zwischen den Stufen, Enter setzt.
1 = alle Punkte auf einer Geraden5 = Trapez mit AD ∥ BC
AB = DC = (2, 1, 0), AD = BC = (0, 1, 3)
AB = (4, 2, 2), DC = (2, 1, 1), AD = (0, 1, 1), BC = (−2, 0, 0)
AB = (2, 0, 0), DC = (1, 2, 0), AD = (0, 2, 0), BC = (−1, 4, 0)
A(0 | 0 | 0), B(1 | 1 | 1), C(3 | 3 | 3), D(2 | 2 | 2)
AB = (1, 0, 2), DC = (3, 2, 2), AD = (2, 2, 0), BC = (4, 4, 0)
Ein Parallelogramm braucht gleiche Vektoren, ein Trapez nur ein kollineares Paar. Welches Paar parallel ist, entscheidet die Zuordnung.