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Kollinearität von Vektoren

Zeigen zwei Pfeile in dieselbe Richtung? Ein einziger Faktor verrät es — wenn er für alle drei Einträge passt.

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Parallel heißt Vielfaches

Zwei Vektoren heißen kollinear, wenn ihre Pfeile parallel sind — dann ist der eine ein Vielfaches des anderen. Ob das so ist, entscheidet ein einziger Faktor \(r\).

  • Kollinear:\(\vec b=r\cdot\vec a\) für eine Zahl \(r\); die Pfeile sind gleich oder entgegengesetzt gerichtet.
  • Prüfen:für jede Zeile den Faktor bestimmen — kollinear nur, wenn überall dasselbe \(r\) herauskommt.
  • Nulleinträge:Steht in \(\vec a\) eine 0, muss \(\vec b\) an derselben Stelle auch 0 haben.
  • Nullvektor:\(\vec 0=0\cdot\vec a\) ist zu jedem Vektor kollinear.

Herleitung:

\(\vec b=r\cdot\vec a\)
zeilenweise
Start: Ansatz für kollineare Vektoren.
\(b_1=r\,a_1,\quad b_2=r\,a_2,\quad b_3=r\,a_3\)
| : a₁, a₂, a₃
Drei Gleichungen für ein einziges \(r\) (alle \(a_i\neq0\)).
\(r=\dfrac{b_1}{a_1}=\dfrac{b_2}{a_2}=\dfrac{b_3}{a_3}\)
Ergebnis
Alle drei Quotienten gleich ⇒ kollinear; ein abweichender ⇒ nicht kollinear.

Sortiere die Karten: Welche Vektoren sind kollinear zu \(\vec a\)? Karte anklicken (oder mit Tab wählen und Enter), dann ein Fach wählen — per Klick oder mit den Tasten 1 und 2.

Kollinear oder nicht?

Halte fest: Ein einziger abweichender Quotient genügt — dann sind die Vektoren nicht kollinear, auch wenn zwei Zeilen passen.

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Kollinearität anwenden

Mit Kollinearität prüft man Lagen, ohne zu zeichnen: ob Punkte auf einer Geraden liegen und ob Strecken parallel sind.

  • Drei Punkte:\(A\), \(B\), \(C\) liegen auf einer Geraden, wenn \(\overrightarrow{AB}\) und \(\overrightarrow{AC}\) kollinear sind.
  • Parallele Strecken:\(\overline{AB}\parallel\overline{CD}\), wenn \(\overrightarrow{AB}\) und \(\overrightarrow{CD}\) kollinear sind — z. B. beim Trapez.
  • Parallelogramm:\(\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{DC}\) — hier müssen die Vektoren gleich sein (\(r=1\)).
Merke

Kollinearität: \(\vec a,\ \vec b\) kollinear \(\iff\ \vec b=r\cdot\vec a\) für ein \(r\in\mathbb R\) (bei \(\vec a\neq\vec 0\))

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Allgemeine Hinweise

Eine Zeile reicht nicht

Aus \(b_1=3a_1\) folgt noch nichts. Erst wenn alle Zeilen dasselbe \(r\) liefern, sind die Vektoren kollinear.

Nicht durch 0 teilen

Ist \(a_2=0\), gibt es keinen Quotienten. Dann prüfst du nur, ob auch \(b_2=0\) ist.

Faktor schnell finden

Nimm die Zeile mit den „schönsten“ Zahlen, bestimme dort \(r\) und multipliziere zur Probe die anderen Zeilen.

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