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Kollinearität von Vektoren

Zwei Aufgaben im Abiturformat — drei Vermessungspunkte in einer Flucht und eine trapezförmige Dachfläche.

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Vermessungspunkte in einer Flucht

AFB I–II

Für eine neue Straße werden drei Messpunkte abgesteckt: \(A(2|1|0)\), \(B(6|3|1)\) und \(C(14|7|3)\) (1 LE = 10 m).

Messpunkte A, B, C
x1x2x3ABC
Die Punkte sollen in einer Flucht liegen.
  1. Weisen Sie nach, dass \(A\), \(B\) und \(C\) auf einer Geraden liegen.
  2. Geben Sie an, in welchem Verhältnis \(B\) die Strecke \(\overline{AC}\) teilt.

Hinweise

Hinweis zu Aufgabe a)
Vergleiche \(\overrightarrow{AB}\) und \(\overrightarrow{AC}\).
Hinweis zu Aufgabe b)
Der Faktor aus a) verrät, welcher Anteil von \(\overline{AC}\) bis \(B\) zurückgelegt ist.

Erwartungshorizont

Erwartungshorizont zu Aufgabe a)

\(\overrightarrow{AB}=\begin{pmatrix}4\\2\\1\end{pmatrix}\), \(\overrightarrow{AC}=\begin{pmatrix}12\\6\\3\end{pmatrix}=3\cdot\overrightarrow{AB}\). Die Vektoren sind kollinear und haben den gemeinsamen Punkt \(A\) — die Punkte liegen auf einer Geraden.

Erwartungshorizont zu Aufgabe b)

\(\overrightarrow{AB}=\tfrac13\overrightarrow{AC}\): \(B\) teilt \(\overline{AC}\) im Verhältnis \(1:2\).

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Eine trapezförmige Dachfläche

AFB II–III

Eine Dachfläche hat die Eckpunkte \(A(0|0|4)\), \(B(8|0|4)\), \(C(6|5|6)\) und \(D(2|5|6)\) (1 LE = 1 m).

Dachfläche ABCD
x1x2x3ABCD
Die Traufe AB ist länger als der First DC.
  1. Zeigen Sie, dass die Seiten \(\overline{AB}\) und \(\overline{DC}\) parallel sind.
  2. Untersuchen Sie, ob \(ABCD\) sogar ein Parallelogramm ist.
  3. Entwickeln Sie einen Vorschlag, wie man \(D\) ändern müsste, damit \(ABCD\) ein Parallelogramm wird, und geben Sie den neuen Punkt an.

Hinweise

Hinweis zu Aufgabe a)
Kollinearität von \(\overrightarrow{AB}\) und \(\overrightarrow{DC}\).
Hinweis zu Aufgabe b)
Im Parallelogramm sind auch \(\overline{AD}\) und \(\overline{BC}\) parallel — und \(\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{DC}\).
Hinweis zu Aufgabe c)
Nutze \(\overrightarrow{AD'}=\overrightarrow{BC}\).

Erwartungshorizont

Erwartungshorizont zu Aufgabe a)

\(\overrightarrow{AB}=\begin{pmatrix}8\\0\\0\end{pmatrix}\), \(\overrightarrow{DC}=\begin{pmatrix}4\\0\\0\end{pmatrix}=\tfrac12\overrightarrow{AB}\) — parallel.

Erwartungshorizont zu Aufgabe b)

\(\overrightarrow{AD}=\begin{pmatrix}2\\5\\2\end{pmatrix}\), \(\overrightarrow{BC}=\begin{pmatrix}-2\\5\\2\end{pmatrix}\): nicht kollinear (\(x_1\)-Zeile: \(-1\), \(x_2\)-Zeile: 1). \(ABCD\) ist ein Trapez, kein Parallelogramm.

Erwartungshorizont zu Aufgabe c)

Man setzt \(D'\) so, dass \(\overrightarrow{AD'}=\overrightarrow{BC}\): \(D'=A+\overrightarrow{BC}=(-2|5|6)\). Dann ist \(\overrightarrow{D'C}=\begin{pmatrix}8\\0\\0\end{pmatrix}=\overrightarrow{AB}\). Alternativ \(C\) ändern: \(C'=D+\overrightarrow{AB}=(10|5|6)\).