Ebenengleichungen aufstellen: Übungen – Mathe Grundkurs

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Übungsaufgaben

Zehn interaktive Übungen zum Klicken, Ziehen und Knobeln — von AFB I bis AFB III. Jede Übung gibt dir sofort Rückmeldung; die Erklärung nach dem Prüfen zeigt, wo der typische Fehler liegt.

Gleichungen für eine Ebene

AFB II

E geht durch A(1 | 0 | 2), B(3 | 1 | 2) und C(1 | 4 | 0). Welche Gleichungen beschreiben E?

Mehrere Antworten sind richtig. Markiere alle zutreffenden und klicke dann auf „Prüfen“.

Ortsvektoren sind keine Spannvektoren. (2, 1, 0) und (4, 2, 0) sind kollinear — damit entsteht nur eine Gerade.

Stimmt's? — Fünferserie

AFB I

Fünf Behauptungen über Ebenengleichungen.

Fünf Aussagen nacheinander. Eine falsche Einschätzung reicht — dann startest du die Serie mit „Neue Runde“ neu.

Aussage 1 von 5

Eine Gerade braucht eine Richtung, eine Ebene zwei verschiedene.

Lückentext mit Wortbank

AFB I

Setze die Fachbegriffe an die richtige Stelle — ein Wort bleibt übrig.

Wort anklicken, dann Lücke anklicken (oder umgekehrt) — mit Tab und Enter geht es genauso. Ein Klick auf eine gefüllte Lücke legt das Wort zurück.

In E: x = p + r · u + s · v ist p der , u und v sind die . Sie dürfen nicht sein. Jedes Paar von r, s liefert einen Punkt der Ebene. Hält man s fest und lässt r laufen, entsteht eine in der Ebene.

Der Nullvektor kann weder Richtungs- noch Spannvektor sein.

In der Ebene oder nicht?

AFB II

E: x = (1, 1, 0) + r · (2, 0, 1) + s · (0, 1, 1). Sortiere die Punkte.

Ziehe jede Karte in den passenden Korb — oder wähle sie mit Enter aus und drücke dann die Ziffer des Korbs (0 legt sie zurück).

1liegt in E

2liegt nicht in E

Aus x₁ folgt r, aus x₂ folgt s — die x₃-Zeile ist die Probe: x₃ muss r + s sein.

Punkt zu r und s

AFB I

E: x = (2, −1, 0) + r · (1, 3, 2) + s · (−1, 0, 4). Gib die x₃-Koordinate des Punktes für r = 2 und s = 0,5 an.

Rechne selbst und trage das Ergebnis ein — Enter prüft direkt.

0 + 2 · 2 + 0,5 · 4 = 6. Jede Koordinate bekommt ihren Anteil aus beiden Spannvektoren.

Ebene durch drei Punkte

AFB I

Bringe die Schritte in die richtige Reihenfolge.

Ziehe die Karten in die richtige Reihenfolge — mit der Tastatur: ↑/↓ verschiebt, Shift+↑/↓ wechselt nur den Fokus.

1Einen Punkt als Stützpunkt wählen

2Die Vektoren zu den beiden anderen Punkten berechnen

3Prüfen, dass die Spannvektoren nicht kollinear sind

4Gleichung mit zwei Parametern notieren

5Probe: (r | s) = (1 | 0) und (0 | 1) liefern die anderen Punkte

Die Kollinearitätsprüfung vor dem Aufstellen spart eine falsche Gleichung.

Rechenkette: Punktprobe bei Ebenen

AFB II

E: x = (1, 2, 0) + r · (1, 0, 2) + s · (0, 1, −1). Prüfe Q(4 | 5 | 3) und bestimme y für R(2 | y | 5).

Rechne die Kette Schritt für Schritt: Erst wenn ein Schritt stimmt, wird der nächste freigeschaltet. Enter prüft.

r aus der x₁-Zeile für Q
s aus der x₂-Zeile für Q
x₃, das E für diese r und s liefert
y, damit R(2 | y | 5) in E liegt

Q: x₃ = 0 + 6 − 3 = 3 ✓, also Q ∈ E. R: r = 1, dann 2 − s = 5, s = −3, y = 2 + (−3) = −1.

Ebene und Gleichung

AFB II

Ordne jeder Ebene ihre Gleichung zu.

Klicke links einen Eintrag an und dann rechts den passenden — es entsteht eine Verbindungslinie. Mit der Tastatur: Enter zum Auswählen, ↑/↓ zum Wandern.

Die Spannvektoren zeigen, welche Richtungen in der Ebene liegen; der Stützvektor verschiebt sie.

Fehlersuche

AFB II

Ebene durch A(1 | 0 | 0), B(0 | 2 | 0) und C(0 | 0 | 3) — drei Notizen sind falsch.

In diesem Text stecken Fehler. Klicke genau die falschen Zeilen an — die richtigen musst du stehen lassen.

Genau wie bei Geraden: Richtungen sind Verbindungsvektoren, keine Ortsvektoren.

A10

Was beschreibt die neue Gleichung?

AFB III

E: x = p + r · u + s · v. Der Vektor w ist kein Vektor der Ebene (nicht aus u und v kombinierbar).

Wähle für jede Zeile eine Stufe: 1 = dieselbe Ebene E, 2 = eine zu E parallele Ebene, 3 = nur eine Gerade, 4 = nur einen Punkt, 5 = eine andere, nicht parallele Ebene. Mit der Tastatur: Tab zur Zeile, ←/→ zwischen den Stufen, Enter setzt.

1 = dieselbe Ebene E5 = eine andere, nicht parallele Ebene

u durch u + v ersetzen

v durch 3u ersetzen

p durch p + w ersetzen

u und v durch den Nullvektor ersetzen

v durch w ersetzen

u + v liegt in E, also spannen u + v und v dieselbe Ebene auf. Mit v = 3u bleibt nur eine Richtung — eine Gerade.