Zwei Richtungen spannen eine Ebene auf
Eine Ebene braucht einen Stützpunkt und zwei Richtungen. Die beiden Spannvektoren legen auf der Ebene ein schräges Karopapier aus — jeder Punkt hat darauf seine „Koordinaten“ \(r\) und \(s\).
- Parameterform:\(E:\ \vec x=\vec p+r\cdot\vec u+s\cdot\vec v\) mit \(r,s\in\mathbb R\).
- Stützvektor \(\vec p\):Ortsvektor eines Punktes \(P\) der Ebene.
- Spannvektoren \(\vec u,\vec v\):zwei Richtungen in der Ebene; sie dürfen nicht kollinear sein.
- Parameter:jedes Paar \((r\,|\,s)\) liefert genau einen Punkt \(X\) der Ebene.
Miss die Lage der Messpunkte auf dem schrägen Raster: Ziehe \(X\) auf den markierten Punkt (oder wähle \(X\) an: ← → ändern \(r\), ↑ ↓ ändern \(s\)) und lies \(r\) und \(s\) ab.
| Messpunkt | r | s | Koordinaten |
|---|
Halte fest: \(r\) zählt die Schritte entlang \(\vec u\), \(s\) die Schritte entlang \(\vec v\) — so erreicht man von \(P\) aus jeden Punkt der Ebene, und nur diese.
Ebene durch drei Punkte
Meist sind drei Punkte gegeben. Einer wird Stützpunkt, die Vektoren zu den beiden anderen werden Spannvektoren.
Herleitung:
- Bedingung:\(A\), \(B\), \(C\) dürfen nicht auf einer Geraden liegen — sonst sind \(\overrightarrow{AB}\) und \(\overrightarrow{AC}\) kollinear.
- Gerade und Punkt:Stützvektor und Richtungsvektor der Geraden übernehmen, zweiter Spannvektor zum Punkt.
- Punktprobe:drei Gleichungen, zwei Unbekannte \(r\) und \(s\) — aus zwei Zeilen lösen, die dritte prüft.
Ebene durch A, B und C: \(E:\ \vec x=\overrightarrow{OA}+r\cdot\overrightarrow{AB}+s\cdot\overrightarrow{AC},\ r,s\in\mathbb R\)
Allgemeine Hinweise
Nicht kollinear
Sind \(\vec u\) und \(\vec v\) Vielfache voneinander, entsteht nur eine Gerade. Vor dem Aufstellen kurz prüfen.
Zwei Parameter
Eine Ebene braucht zwei verschiedene Parameter. \(\vec p+t\vec u+t\vec v\) ist nur eine Gerade mit Richtung \(\vec u+\vec v\).
Koordinatenebenen
Die \(x_1x_2\)-Ebene ist \(\vec x=r\begin{pmatrix}1\\0\\0\end{pmatrix}+s\begin{pmatrix}0\\1\\0\end{pmatrix}\) — Stützvektor \(\vec 0\).