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Ebenengleichungen aufstellen

Zwei Aufgaben im Abiturformat — ein Pultdach und ein Hang, auf dem ein Mast stehen soll.

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Ein Pultdach

AFB I–II

Ein rechteckiges Pultdach hat die Ecken \(A(0|0|3)\), \(B(6|0|3)\), \(C(6|8|5)\) und \(D(0|8|5)\) (1 LE = 1 m).

Pultdach ABCD
x1x2x3ABCD
Die Dachfläche steigt in x₂-Richtung an.
  1. Stellen Sie eine Gleichung der Ebene durch \(A\), \(B\) und \(D\) in Parameterform auf.
  2. Zeigen Sie, dass auch \(C\) in dieser Ebene liegt.

Hinweise

Hinweis zu Aufgabe a)
Stützvektor \(\overrightarrow{OA}\), Spannvektoren \(\overrightarrow{AB}\) und \(\overrightarrow{AD}\).
Hinweis zu Aufgabe b)
Punktprobe mit zwei Parametern; oft sieht man \(r\) und \(s\) direkt.

Erwartungshorizont

Erwartungshorizont zu Aufgabe a)

\(E:\ \vec x=\begin{pmatrix}0\\0\\3\end{pmatrix}+r\begin{pmatrix}6\\0\\0\end{pmatrix}+s\begin{pmatrix}0\\8\\2\end{pmatrix}\).

Erwartungshorizont zu Aufgabe b)

Aus \(x_1\): \(6r=6\Rightarrow r=1\); aus \(x_2\): \(8s=8\Rightarrow s=1\); Probe \(x_3\): \(3+2=5\) ✓. \(C\) liegt in \(E\) — das Dach ist eben.

2

Ein Mast am Hang

AFB II–III

Ein ebener Hang wird durch die Punkte \(P(0|0|0)\), \(Q(10|0|2)\) und \(R(0|10|1)\) beschrieben (1 LE = 1 m). Auf dem Hang soll im Punkt \(F(5|4|1{,}4)\) ein Mast stehen.

Hang mit Fußpunkt F
x1x2x3PQRF
Der Hang steigt in beide Richtungen leicht an.
  1. Ermitteln Sie, ob \(F\) auf dem Hang liegt.
  2. Deuten Sie die dabei gefundenen Parameterwerte im Sachzusammenhang.
  3. Begründen Sie, warum die Punkte \(P\), \(Q\) und \(S(20|0|4)\) den Hang nicht festlegen können.

Hinweise

Hinweis zu Aufgabe a)
\(E:\ \vec x=r\,\overrightarrow{PQ}+s\,\overrightarrow{PR}\); zwei Zeilen lösen, die dritte prüfen.
Hinweis zu Aufgabe b)
\(r\) und \(s\) messen in Einheiten von \(\overrightarrow{PQ}\) bzw. \(\overrightarrow{PR}\).
Hinweis zu Aufgabe c)
Vergleiche \(\overrightarrow{PS}\) mit \(\overrightarrow{PQ}\).

Erwartungshorizont

Erwartungshorizont zu Aufgabe a)

\(10r=5\Rightarrow r=0{,}5\); \(10s=4\Rightarrow s=0{,}4\); \(x_3=2\cdot0{,}5+1\cdot0{,}4=1{,}4\) ✓. \(F\) liegt auf dem Hang.

Erwartungshorizont zu Aufgabe b)

Man erreicht \(F\) von \(P\) aus mit dem halben Weg nach \(Q\) und 40 % des Weges nach \(R\) — auf dem „schrägen Karopapier“ des Hangs hat \(F\) die Koordinaten \((0{,}5\,|\,0{,}4)\).

Erwartungshorizont zu Aufgabe c)

\(\overrightarrow{PS}=\begin{pmatrix}20\\0\\4\end{pmatrix}=2\cdot\overrightarrow{PQ}\): Die drei Punkte liegen auf einer Geraden. Durch eine Gerade gehen unendlich viele Ebenen — der Hang wäre nicht eindeutig bestimmt.