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3D-Koordinatensystem

Zwei Aufgaben im Abiturformat — vom Klassenzimmer im Koordinatensystem bis zur Frage, wie verlässlich ein Schrägbild ist.

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Ein Zimmer im Koordinatensystem

AFB I–II

Ein quaderförmiges Zimmer ist 4 m lang, 5 m breit und 3 m hoch. Es wird so in ein Koordinatensystem gelegt (1 LE = 1 m), dass eine Bodenecke im Ursprung liegt, der Boden in der \(x_1x_2\)-Ebene und die Länge entlang der \(x_1\)-Achse. Eine Lampe hängt 50 cm unter dem Mittelpunkt der Decke.

Zimmer als Quader
x1x2x3OBCDEFGH
Verdeckte Kanten gestrichelt; 1 LE = 1 m.
  1. Geben Sie die Koordinaten aller acht Ecken des Zimmers an.
  2. Bestimmen Sie die Koordinaten der Lampe.

Hinweise

Hinweis zu Aufgabe a)
Die Ecken bestehen nur aus 0 und den drei Maßen; die Reihenfolge ist Länge (\(x_1\)), Breite (\(x_2\)), Höhe (\(x_3\)).
Hinweis zu Aufgabe b)
Bestimme zuerst den Mittelpunkt der Deckfläche und gehe dann 0,5 m nach unten.

Erwartungshorizont

Erwartungshorizont zu Aufgabe a)

Boden: \((0|0|0)\), \((4|0|0)\), \((4|5|0)\), \((0|5|0)\); Decke: \((0|0|3)\), \((4|0|3)\), \((4|5|3)\), \((0|5|3)\).

Erwartungshorizont zu Aufgabe b)

Mittelpunkt der Decke: \((2\,|\,2{,}5\,|\,3)\). Die Lampe hängt 0,5 m tiefer: \(L(2\,|\,2{,}5\,|\,2{,}5)\). Sie ist 2,5 m über dem Boden.

2

Zwei Drohnen, ein Bildpunkt

AFB II–III

Zwei Drohnen befinden sich in \(D_1(4\,|\,3\,|\,3)\) und \(D_2(0\,|\,1\,|\,1)\) (1 LE = 10 m). Im üblichen Schrägbild (eine \(x_1\)-Einheit = eine Kästchendiagonale nach links unten, eine \(x_2\)- bzw. \(x_3\)-Einheit = 2 Kästchen nach rechts bzw. oben) erscheinen beide an derselben Stelle.

Koordinatenwege der Drohnen
x1x2x3D₁ und D₂
Violett: Weg zu D₁, gestrichelt: Weg zu D₂ — beide enden am selben Bildpunkt.
  1. Weisen Sie rechnerisch nach, dass beide Drohnen im Schrägbild an derselben Stelle erscheinen.
  2. Ermitteln Sie einen weiteren Punkt mit ganzzahligen Koordinaten, der im Schrägbild auf dem Ursprung erscheint.
  3. Beurteilen Sie die Aussage: „Aus einem Schrägbild kann man die Koordinaten eines Punktes immer eindeutig ablesen.“

Hinweise

Hinweis zu Aufgabe a)
Ein Punkt \((p_1|p_2|p_3)\) wird im Bild um \(p_2-\tfrac12p_1\) Einheiten nach rechts und um \(p_3-\tfrac12p_1\) nach oben verschoben.
Hinweis zu Aufgabe b)
Suche Punkte, bei denen beide Verschiebungen 0 sind.
Hinweis zu Aufgabe c)
Überlege, welche zusätzliche Information ein Schrägbild braucht, damit es eindeutig wird.

Erwartungshorizont

Erwartungshorizont zu Aufgabe a)

\(D_1\): nach rechts \(3-2=1\), nach oben \(3-2=1\). \(D_2\): nach rechts \(1-0=1\), nach oben \(1-0=1\). Beide Bildpunkte stimmen überein.

Erwartungshorizont zu Aufgabe b)

Bedingung: \(p_2=\tfrac12p_1\) und \(p_3=\tfrac12p_1\), z. B. \((2\,|\,1\,|\,1)\) oder \((4\,|\,2\,|\,2)\) — alle Punkte \((2k\,|\,k\,|\,k)\).

Erwartungshorizont zu Aufgabe c)

Die Aussage ist falsch: Jede Bildstelle gehört zu unendlich vielen Raumpunkten (Beispiel aus a). Eindeutig wird die Darstellung erst mit Koordinatenweg, Hilfsquader oder einer Angabe wie „liegt in der \(x_1x_2\)-Ebene“.