Drei Achsen, ein Ursprung
Im Raum braucht ein Punkt drei Angaben. Dazu legt man durch den Ursprung \(O\) drei Achsen, die paarweise senkrecht aufeinander stehen.
- \(x_1\)-Achse:zeigt nach vorn; im Schrägbild schräg nach links unten, eine Einheit = Diagonale eines Kästchens.
- \(x_2\)-Achse:zeigt nach rechts, eine Einheit = 2 Kästchen.
- \(x_3\)-Achse:zeigt nach oben, eine Einheit = 2 Kästchen.
- Rechtssystem:Daumen, Zeige- und Mittelfinger der rechten Hand zeigen in Richtung \(x_1\), \(x_2\), \(x_3\).
- Punkt:\(P(p_1\,|\,p_2\,|\,p_3)\) — die Koordinaten stehen immer in der Reihenfolge \(x_1\), \(x_2\), \(x_3\).
Steuere mit den drei Reglern einen Punkt an und verfolge seinen Koordinatenweg: erst nach vorn, dann nach rechts, dann nach oben. Schalte danach „Doppelgänger“ ein.
Halte fest: Im Schrägbild kann derselbe Bildpunkt zu verschiedenen Raumpunkten gehören — erst der Koordinatenweg (\(x_1\), dann \(x_2\), dann \(x_3\)) macht die Lage eindeutig.
Koordinatenebenen und besondere Lagen
Die drei Achsen spannen drei Koordinatenebenen auf. An den Nullen einer Koordinate erkennt man sofort, wo ein Punkt liegt.
- \(x_1x_2\)-Ebene:alle Punkte mit \(x_3=0\) — der „Boden“.
- \(x_2x_3\)-Ebene:alle Punkte mit \(x_1=0\) — die „Rückwand“.
- \(x_1x_3\)-Ebene:alle Punkte mit \(x_2=0\) — die „Seitenwand“.
- Auf einer Achse:zwei Koordinaten sind 0, z. B. liegt \((0\,|\,5\,|\,0)\) auf der \(x_2\)-Achse.
- Oktanten:Die drei Ebenen teilen den Raum in acht Teile; im 1. Oktanten sind alle Koordinaten positiv.
Punkt im Raum: \(P(p_1\,|\,p_2\,|\,p_3)\) — erst \(x_1\), dann \(x_2\), dann \(x_3\)
Allgemeine Hinweise
Reihenfolge einhalten
\((2\,|\,3\,|\,1)\) und \((3\,|\,2\,|\,1)\) sind verschiedene Punkte. Die erste Zahl gehört immer zur \(x_1\)-Achse.
Das Schrägbild täuscht
\((2\,|\,2\,|\,1)\) und \((0\,|\,1\,|\,0)\) landen auf derselben Bildstelle. Zeichne deshalb den Koordinatenweg mit ein.
Kästchen zählen
Auf Karopapier: \(x_2\) und \(x_3\) je 2 Kästchen pro Einheit, \(x_1\) eine Kästchendiagonale pro Einheit.