Winkelgrößen bestimmen: Übungen – Mathe Grundkurs

A1

Winkel ohne Rechner

AFB I

Bestimmen Sie den Winkel zwischen \(\vec a=(1|0|0)\) und \(\vec b=(1|1|0)\).

Rechnen Sie selbst und tragen Sie das Ergebnis ein — Enter prüft direkt.

°

\(\cos\alpha=\frac{1}{1\cdot\sqrt2}=\frac{\sqrt2}{2}\Rightarrow\alpha=45^\circ\) — die Diagonale eines Quadrats halbiert den rechten Winkel.

\(\vec a\cdot\vec b=1\), \(|\vec a|=1\), \(|\vec b|=\sqrt2\).

\(\cos45^\circ=\frac{\sqrt2}{2}\approx0{,}707\).

A2

Stumpfe Winkel erkennen

AFB I

Geben Sie alle Paare an, die einen stumpfen Winkel einschließen.

Mehrere Antworten sind richtig. Markieren Sie alle zutreffenden und klicken Sie dann auf „Prüfen“.

Stumpf heißt Skalarprodukt negativ: −1, −2 und 2 − 3 − 2 = −3. (4|0|1) und (0|5|0) stehen genau senkrecht — 90° ist nicht stumpf.

Für die Art des Winkels reicht das Vorzeichen des Skalarprodukts.

Null bedeutet 90° — weder spitz noch stumpf.

A3

Kosinuswert und Winkel

AFB I

Ordnen Sie jedem Kosinuswert den Winkel zu.

Klicken Sie links einen Eintrag an und dann rechts den passenden — es entsteht eine Verbindungslinie. Mit der Tastatur: Enter zum Auswählen, ↑/↓ zum Wandern.

Diese Werte kommen im hilfsmittelfreien Teil immer wieder vor. Negative Kosinuswerte gehören zu stumpfen Winkeln.

Merken Sie sich cos 60° = 0,5 und cos 90° = 0.

Für stumpfe Winkel gilt cos(180° − α) = −cos α.

A4

Innenwinkel eines Dreiecks

AFB II

Das Dreieck hat die Ecken \(A(1|0|0)\), \(B(0|2|0)\), \(C(0|0|3)\). Berechnen Sie die drei Innenwinkel auf eine Nachkommastelle.

Füllen Sie alle Felder aus und prüfen Sie dann. Enter in einem Feld prüft ebenfalls. Dezimalzahlen mit Komma oder Punkt.

Winkel	bei A	bei B	bei C
Größe in °

Bei A: \(\overrightarrow{AB}=(-1|2|0)\), \(\overrightarrow{AC}=(-1|0|3)\), \(\cos\alpha=\frac{1}{\sqrt5\cdot\sqrt{10}}\Rightarrow\alpha\approx81{,}9^\circ\). Bei B: \(\approx60{,}3^\circ\), bei C: \(\approx37{,}9^\circ\). Probe: Summe 180°.

An jeder Ecke zwei Vektoren bilden, die dort beginnen.

Den dritten Winkel können Sie zur Kontrolle auch über die Winkelsumme bestimmen.

A5

Wie groß ist der Schnittwinkel?

MixAFB II

Gegeben ist jeweils der Kosinus des Winkels zwischen den Richtungsvektoren zweier sich schneidender Geraden. Ordnen Sie den Schnittwinkel ein.

Ziehen Sie jede Karte in den passenden Korb — oder wählen Sie sie mit Enter aus und drücken Sie dann die Ziffer des Korbs (0 legt sie zurück).

1kleiner als 30°

230° bis 60°

3größer als 60°

Für den Schnittwinkel zählt nur |cos α|: 0,9 → 25,8°, 0,95 → 18,2°, 0,6 → 53,1°, 0,7 → 45,6°, 0,2 → 78,5°, 0,1 → 84,3°. Das Vorzeichen verrät nur, ob der Vektorwinkel stumpf ist.

Nehmen Sie den Betrag des Kosinuswerts.

cos 30° ≈ 0,87 und cos 60° = 0,5 sind die Grenzen.

A6

Vektorwinkel und Schnittwinkel

AFB II

Zwei Geraden schneiden sich; ihre Richtungsvektoren sind \(\vec u=(1|2|2)\) und \(\vec v=(0|{-}3|{-}4)\). Ermitteln Sie den Winkel zwischen den Vektoren und den Schnittwinkel (je auf zwei Nachkommastellen).

Beide Werte in Grad eintragen. Enter prüft.

Vektorwinkel α ≈Schnittwinkel ≈

\(\vec u\cdot\vec v=-14\), \(|\vec u|=3\), \(|\vec v|=5\): \(\cos\alpha=-\frac{14}{15}\Rightarrow\alpha\approx158{,}96^\circ\). Der Schnittwinkel ist der spitze Nebenwinkel: \(\approx21{,}04^\circ\).

Erst \(\cos\alpha\) mit Vorzeichen, dann den Betrag für den Schnittwinkel.

\(|\vec v|=\sqrt{9+16}=5\).

A7

Dachsparren

AFB II

Ein Dachsparren verläuft von der Traufe \(T(4|0|3)\) zum First \(F(1|0|7)\) (in m). Werten Sie Schritt für Schritt aus.

Rechnen Sie die Kette Schritt für Schritt: Erst wenn ein Schritt stimmt, wird der nächste freigeschaltet. Enter prüft.

Länge des Sparrens m
\(\overrightarrow{TF}\cdot(-1|0|0)\)
Neigungswinkel gegen die Waagerechte (zwei Nachkommastellen) °
Winkel zwischen Sparren und senkrechter Stütze °

\(\overrightarrow{TF}=(-3|0|4)\), Länge 5. Mit der waagerechten Richtung \((-1|0|0)\): \(\cos\alpha=\frac35\Rightarrow\alpha\approx53{,}13^\circ\). Mit der Senkrechten \((0|0|1)\): \(\cos\beta=\frac45\Rightarrow\beta\approx36{,}87^\circ\) — zusammen 90°.

Der Sparrenvektor ist \(\overrightarrow{TF}=(-3|0|4)\).

Die Waagerechte in Sparrenrichtung ist \((-1|0|0)\), die Senkrechte \((0|0|1)\).

A8

Fehlersuche

AFB III

Drei der sechs Zeilen sind falsch. Überprüfen Sie jede Zeile.

In diesem Text stecken Fehler. Klicken Sie genau die falschen Zeilen an — die richtigen müssen stehen bleiben.

Alle drei Fehler sind typische Klausurfehler: falscher Scheitel, falscher Winkelmodus, Schnittwinkel über 90°.

Prüfen Sie bei jeder Zeile: Welcher Winkel ist gemeint?

Achten Sie auf die Einstellung des Rechners (Deg/Rad).

A9

Winkel ordnen

AFB III

Vergleichen Sie die Winkel zwischen den Vektorpaaren und ordnen Sie sie vom kleinsten zum größten.

Ziehen Sie die Karten in die richtige Reihenfolge — mit der Tastatur: ↑/↓ verschiebt, Shift+↑/↓ wechselt nur den Fokus.

1(1|2|2) und (2|1|2)

2(1|1|0) und (1|1|1)

3(1|0|1) und (0|1|1)

4(1|0|0) und (0|1|0)

5(1|0|0) und (−1|1|0)

Die Winkel: 27,3°, 35,3°, 60,0°, 90,0°, 135,0°. Die ersten drei Paare haben alle ein positives Skalarprodukt — erst der Kosinuswert entscheidet über die Reihenfolge.

Berechnen Sie für jedes Paar \(\cos\alpha\) — je größer der Kosinus, desto kleiner der Winkel.

\(\frac89\approx0{,}89\), \(\frac{2}{\sqrt6}\approx0{,}82\), \(\frac12\), \(0\), \(-\frac{1}{\sqrt2}\).

A10

Trickaufgabe: Diagonale und Kante

TrickAFB III

Schätzen Sie zuerst und berechnen Sie dann: Welchen Winkel schließt die Raumdiagonale eines Würfels mit einer Kante ein, die von derselben Ecke ausgeht? Geben Sie ganze Grad an.

Schieben Sie den Regler auf Ihre Antwort — Pfeiltasten bewegen ihn schrittweise. Nach dem Prüfen sehen Sie den Trefferbereich.

0°90°

Raumdiagonale \((1|1|1)\), Kante \((1|0|0)\): \(\cos\alpha=\frac{1}{\sqrt3}\approx0{,}577\Rightarrow\alpha\approx54{,}7^\circ\approx55^\circ\). Die Falle ist 45° — das gilt nur für die Flächendiagonale.

Legen Sie den Würfel mit Kantenlänge 1 in den Ursprung.

Die Raumdiagonale ist \((1|1|1)\), die Kante \((1|0|0)\).

Übungen: Winkelgrößen bestimmen

Übungsaufgaben