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Abituraufgaben: Winkelgrößen bestimmen

Kanten einer Glaspyramide und der Gleitpfad eines Landeanflugs — Winkel im Raum berechnen und beurteilen.

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Winkel an einer Glaspyramide

AFB I–II

Eine Glaspyramide hat die quadratische Grundfläche \(A(0|0|0)\), \(B(6|0|0)\), \(C(6|6|0)\), \(D(0|6|0)\) und die Spitze \(S(3|3|4)\) (in m).

Glaspyramide
x₁x₂x₃ABCDS
Quadratische Grundfläche \(ABCD\), Spitze \(S\), Maße in m.
  1. Berechnen Sie den Winkel an der Spitze im Seitendreieck \(ABS\).
  2. Bestimmen Sie den Winkel des Seitendreiecks \(ABS\) bei \(A\) und kontrollieren Sie mit der Winkelsumme.
  3. Ermitteln Sie den Winkel zwischen der Kante \(\overline{AS}\) und der Diagonale \(\overline{AC}\) der Grundfläche.
  4. Interpretieren Sie den Winkel zwischen den Geraden \(AS\) und \(CS\) als Schnittwinkel.

Hinweise

Hinweis zu Aufgabe a)
Vektoren \(\overrightarrow{SA}\) und \(\overrightarrow{SB}\).
Hinweis zu Aufgabe b)
Das Seitendreieck ist gleichschenklig.
Hinweis zu Aufgabe c)
Dieser Winkel beschreibt, wie steil die Kante ansteigt.
Hinweis zu Aufgabe d)
Erst den Winkel zwischen \(\overrightarrow{SA}\) und \(\overrightarrow{SC}\), dann den Schnittwinkel.

Erwartungshorizont

Erwartungshorizont zu Aufgabe a)

\(\overrightarrow{SA}=(-3|{-}3|{-}4)\), \(\overrightarrow{SB}=(3|{-}3|{-}4)\), Skalarprodukt \(-9+9+16=16\), Beträge je \(\sqrt{34}\). \(\cos\gamma=\frac{16}{34}\Rightarrow\gamma\approx61{,}93^\circ\).

Erwartungshorizont zu Aufgabe b)

\(\overrightarrow{AB}=(6|0|0)\), \(\overrightarrow{AS}=(3|3|4)\): \(\cos\alpha=\frac{18}{6\sqrt{34}}\Rightarrow\alpha\approx59{,}04^\circ\). Kontrolle: \(2\cdot59{,}04^\circ+61{,}93^\circ\approx180^\circ\) ✓.

Erwartungshorizont zu Aufgabe c)

\(\overrightarrow{AC}=(6|6|0)\): \(\cos\delta=\frac{36}{\sqrt{72}\cdot\sqrt{34}}\approx0{,}728\Rightarrow\delta\approx43{,}31^\circ\). Da \(S\) genau über der Mitte von \(\overline{AC}\) liegt, ist das der Neigungswinkel der Kante gegen den Boden.

Erwartungshorizont zu Aufgabe d)

\(\overrightarrow{SA}\cdot\overrightarrow{SC}=-9-9+16=-2\): Winkel \(\approx93{,}37^\circ\), knapp stumpf. Die Geraden schneiden sich also unter \(\approx86{,}63^\circ\) — die gegenüberliegenden Kanten stehen fast senkrecht aufeinander.

2

Gleitwinkel beim Landeanflug

AFB II–III

Ein Flugzeug fliegt im Landeanflug geradlinig entlang \(g\colon\ \vec x=(-4000|0|300)+t\cdot(80|0|{-}6)\) (Koordinaten in m, \(t\) in s). Die Landebahn beginnt im Ursprung und verläuft in Richtung \((1|0|0)\). Üblich ist ein Gleitwinkel von 3°.

Landeanflug
x₁x₂x₃PO
Gleitpfad (blau) von \(P\) zur Landebahnschwelle \(O\); die \(x_3\)-Achse ist stark überhöht gezeichnet.
  1. Weisen Sie nach, dass der Winkel zwischen Flugbahn und Landebahn etwa 4,3° beträgt.
  2. Untersuchen Sie, wo und nach welcher Zeit das Flugzeug die Höhe 0 erreicht.
  3. Beurteilen Sie den Anflug im Vergleich zum üblichen Gleitwinkel.
  4. Entwickeln Sie einen Gleitpfad mit 3° aus 300 m Höhe, der ebenfalls an der Schwelle endet, und geben Sie seinen Startpunkt an.

Hinweise

Hinweis zu Aufgabe a)
Winkel zwischen \((80|0|{-}6)\) und \((1|0|0)\).
Hinweis zu Aufgabe b)
\(x_3=300-6t=0\).
Hinweis zu Aufgabe c)
Vergleichen Sie die Winkel und überlegen Sie, was ein steilerer Anflug bedeutet.
Hinweis zu Aufgabe d)
Ein Richtungsvektor mit 3° Neigung ist \((1|0|-\tan3^\circ)\).

Erwartungshorizont

Erwartungshorizont zu Aufgabe a)

\(\cos\alpha=\frac{80}{\sqrt{6400+36}}\approx0{,}99720\Rightarrow\alpha\approx4{,}29^\circ\).

Erwartungshorizont zu Aufgabe b)

\(t=50\ \text{s}\), Punkt \((-4000+4000|0|0)=(0|0|0)\): Das Flugzeug setzt genau an der Schwelle auf.

Erwartungshorizont zu Aufgabe c)

\(4{,}29^\circ\) ist deutlich steiler als 3°. Das Flugzeug sinkt schneller (hier 6 m/s), muss vor dem Aufsetzen stärker abfangen und setzt ohne Sicherheitsabstand genau an der Schwelle auf. Der Anflug ist eher ungünstig; ein flacherer Pfad wäre sicherer.

Erwartungshorizont zu Aufgabe d)

Richtung \((1|0|-\tan3^\circ)\approx(1|0|{-}0{,}0524)\). Von der Höhe 300 m bis 0 m braucht man die waagerechte Strecke \(\frac{300}{\tan3^\circ}\approx5724\ \text{m}\).

Startpunkt \(P\approx(-5724|0|300)\), Gleitpfad \(\vec x=(-5724|0|300)+s\cdot(1|0|{-}0{,}0524)\). Probe: Winkel zu \((1|0|0)\): \(\cos\alpha=\frac{1}{\sqrt{1+0{,}0524^2}}\Rightarrow\alpha\approx3^\circ\) ✓.