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Übungen: Schnittpunkte von Geraden

Gleichsetzen, zwei Gleichungen lösen, die dritte prüfen — und dann noch deuten, was der Schnittpunkt im Sachzusammenhang bedeutet.

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Übungsaufgaben

Zehn Übungen zum Klicken, Zuordnen, Rechnen und Knobeln — von AFB I bis AFB III. Jede Übung gibt sofort Rückmeldung; bei Schwierigkeiten helfen die gestuften Tipps.

A1
Schnittpunkt berechnen
AFB I

Berechnen Sie den Schnittpunkt von \(g\colon\ \vec x=(1|0|2)+r\cdot(1|1|0)\) und \(h\colon\ \vec x=(0|3|2)+s\cdot(1|{-}1|0)\).

Die drei Koordinaten von S eintragen, Enter prüft.
I: \(1+r=s\), II: \(r=3-s\), III: \(2=2\) ✓. Aus I und II: \(1+r=3-r\Rightarrow r=1,\ s=2\). \(S=(1|0|2)+1\cdot(1|1|0)=(2|1|2)\); Probe mit \(h\): \((0|3|2)+2\cdot(1|{-}1|0)=(2|1|2)\) ✓.
Gleichsetzen und zeilenweise aufschreiben — die dritte Zeile ist hier immer erfüllt.
Setzen Sie \(s=1+r\) aus I in II ein.
A2
Liegt der Punkt auf g?
AFB I

Geben Sie alle Punkte an, die auf \(g\colon\ \vec x=(2|1|0)+r\cdot(1|{-}1|2)\) liegen.

Mehrere Antworten sind richtig. Markieren Sie alle zutreffenden und klicken Sie dann auf „Prüfen“.
Die Parameter r = 1, −2, 2 und 3 passen jeweils in allen drei Zeilen. Bei (1|0|−2) liefert die erste Zeile r = −1, die zweite aber r = 1; (2|1|1) hätte r = 0, dann müsste x₃ = 0 sein.
Aus jeder Zeile den Parameter \(r\) bestimmen.
Nur wenn alle drei Werte übereinstimmen, liegt der Punkt auf der Geraden.
A3
Das Verfahren in Worten
AFB I

Setzen Sie die Begriffe ein — einer bleibt übrig.

Wort anklicken, dann Lücke anklicken (oder umgekehrt) — mit Tab und Enter geht es genauso. Ein Klick auf eine gefüllte Lücke legt das Wort zurück.

Die Geradengleichungen werden , wobei man zwei Parameter verwendet. Nachdem zwei Gleichungen gelöst sind, prüft man die Gleichung. Zum Schluss wird der Parameter in die Geradengleichung ; mit dem anderen Parameter in der anderen Gleichung macht man die .

„addiert“ bleibt übrig — das Additionsverfahren ist höchstens ein Hilfsmittel beim Lösen des Gleichungssystems.
Denken Sie an die vier Schritte: gleichsetzen, lösen, prüfen, einsetzen.
Die doppelte Berechnung von S heißt Probe.
A4
Schritt für Schritt zum Schnittpunkt
AFB II

\(g\colon\ \vec x=(2|0|1)+r\cdot(1|2|{-}1)\), \(h\colon\ \vec x=(3|5|1)+s\cdot(1|{-}1|{-}2)\). Bestimmen Sie Schritt für Schritt den Schnittpunkt.

Rechnen Sie die Kette Schritt für Schritt: Erst wenn ein Schritt stimmt, wird der nächste freigeschaltet. Enter prüft.
  1. \(r\)
  2. \(s\)
  3. \(s_1\)
  4. \(s_2\)
  5. \(s_3\)
I: \(2+r=3+s\), II: \(2r=5-s\), III: \(1-r=1-2s\Rightarrow r=2s\). Mit III in I: \(2+2s=3+s\Rightarrow s=1,\ r=2\). II: \(4=4\) ✓. \(S(4|4|{-}1)\).
Zeile III vereinfacht sich zu \(r=2s\).
Setzen Sie \(r=2s\) in Zeile I ein.
A5
Schnitt für welches a?
AFB II

Für welchen Wert von \(a\) schneiden sich \(g\colon\ \vec x=r\cdot(1|1|1)\) und \(h\colon\ \vec x=(2|0|a)+s\cdot(0|1|2)\)? Ermitteln Sie \(a\).

Rechnen Sie selbst und tragen Sie das Ergebnis ein — Enter prüft direkt.
I: \(r=2\), II: \(r=s\Rightarrow s=2\), III: \(r=a+2s\Rightarrow2=a+4\Rightarrow a=-2\). Für jedes andere \(a\) sind die Geraden windschief.
Die ersten beiden Zeilen enthalten kein \(a\) — lösen Sie sie zuerst.
Die dritte Zeile legt dann \(a\) fest.
A6
Ergebnis und Bedeutung
AFB II

Interpretieren Sie das Ergebnis des Gleichungssystems: Verbinden Sie jeden Befund mit seiner Bedeutung.

Klicken Sie links einen Eintrag an und dann rechts den passenden — es entsteht eine Verbindungslinie. Mit der Tastatur: Enter zum Auswählen, ↑/↓ zum Wandern.
Das Gleichungssystem allein sagt „eine / keine / unendlich viele Lösungen“ — erst mit der Richtung wird daraus eine Lage.
Eine Lösung = ein gemeinsamer Punkt.
Keine Lösung kann parallel oder windschief heißen — die Richtung entscheidet.
A7
Schnittpunkt mit dem GTR
AFB II

Stellen Sie den Ablauf mit dem Casio fx-CG50 in der richtigen Reihenfolge dar.

Ziehen Sie die Karten in die richtige Reihenfolge — mit der Tastatur: ↑/↓ verschiebt, Shift+↑/↓ wechselt nur den Fokus.
1Geraden mit r und s gleichsetzen und zeilenweise aufschreiben
2Zwei Zeilen in die Form a·r + b·s = c bringen
3MENU → Equation → SIMUL (F1) → 2 Unbekannte (F1), Koeffizienten eingeben, SOLVE
4Die Lösung in der dritten Zeile prüfen
5r in g einsetzen und S mit s in h kontrollieren
Der GTR löst nur quadratische Systeme (2 Gleichungen, 2 Unbekannte). Die dritte Gleichung bleibt Handarbeit — ohne sie lässt sich windschief nicht erkennen.
Der Rechner kommt erst, wenn die Gleichungen geordnet sind.
Die Kontrolle steht immer am Ende.
A8
Fehlersuche
AFB III

Drei der sechs Zeilen enthalten Fehler. Überprüfen Sie jede Zeile.

In diesem Text stecken Fehler. Klicken Sie genau die falschen Zeilen an — die richtigen müssen stehen bleiben.
Alle drei Fehler lassen die Prüfung weg: die dritte Gleichung, die Zeit oder die Grenzen des Rechners.
Welche Prüfung fehlt jeweils?
Beim Flugzeug: Ort und Zeit sind zwei verschiedene Fragen.
A9
Trickaufgabe: Wann am nächsten?
TrickAFB III

Flugzeug 1 fliegt entlang \(\vec x=(0|0|3)+t\cdot(4|2|0)\), Flugzeug 2 entlang \(\vec x=(20|0|1)+t\cdot(-1|2|0{,}5)\) (km, \(t\) in Minuten). Schätzen Sie zuerst und prüfen Sie dann: Nach wie vielen Minuten sind sich die Flugzeuge am nächsten?

Schieben Sie den Regler auf Ihre Antwort — Pfeiltasten bewegen ihn schrittweise. Nach dem Prüfen sehen Sie den Trefferbereich.
0 min10 min
Die Bahnen schneiden sich in \(S(16|8|3)\) — und zwar für beide Flugzeuge bei \(t=4\): \((0|0|3)+4\cdot(4|2|0)=(16|8|3)\) und \((20|0|1)+4\cdot(-1|2|0{,}5)=(16|8|3)\). Der kleinste Abstand ist 0 — ein Kollisionskurs. Die Falle: Man rechnet mit r und s und findet zwar den Schnittpunkt, übersieht aber, dass die Zeiten gleich sind.
Hier ist der Parameter die Zeit — setzen Sie beide Bahnen mit demselben \(t\) gleich.
Aus \(2t=2t\) (Zeile II) und \(4t=20-t\) folgt \(t=4\). Passt Zeile III?
A10
Schnittpunkte deuten
MixAFB III

Beurteilen Sie die Aussagen.

Fünf Aussagen nacheinander. Eine falsche Einschätzung reicht — dann starten Sie die Serie mit „Neue Runde“ neu.
Aussage 1 von 5

Parameter sind nur Rechengrößen: Ihr Vorzeichen sagt nichts über die Existenz eines Schnittpunkts, im Sachkontext können sie aber Zeiten bedeuten.
Denken Sie bei jeder Aussage an ein einfaches Gegenbeispiel.
Negativer Parameter heißt nur: in Gegenrichtung des Richtungsvektors.