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Schnittpunkte von Geraden

Zwei Flugbahnen kreuzen sich — ob es gefährlich wird, entscheidet nicht der Ort, sondern die Uhrzeit.

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Gleichsetzen und lösen

Ein Schnittpunkt liegt auf beiden Geraden — also gibt es passende Parameter \(r\) und \(s\).

  • Ansatz:\(g\colon\ \vec x=\vec p+r\vec u\) und \(h\colon\ \vec x=\vec q+s\vec v\) gleichsetzen — mit zwei verschiedenen Parametern.
  • Zeilenweise:Jede Koordinate liefert eine Gleichung: drei Gleichungen für zwei Unbekannte.
  • Lösen:Zwei Gleichungen mit dem Einsetzungs- oder Additionsverfahren lösen, die dritte zur Probe nutzen.
  • Schnittpunkt:\(r\) in \(g\) einsetzen — zur Kontrolle auch \(s\) in \(h\).

Herleitung:

\(\begin{pmatrix}1\\0\\2\end{pmatrix}+r\begin{pmatrix}2\\1\\-1\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}3\\3\\-1\end{pmatrix}+s\begin{pmatrix}0\\-1\\1\end{pmatrix}\)
zeilenweise
Beide Geraden gleichsetzen.
\(\text{I: }1+2r=3\qquad\text{II: }r=3-s\qquad\text{III: }2-r=-1+s\)
I, II lösen
Drei Gleichungen für die zwei Unbekannten \(r\) und \(s\).
\(r=1,\quad s=2\)
III prüfen
Aus I folgt \(r=1\), dann aus II \(s=2\).
\(\text{III: }2-1=-1+2\ \Rightarrow\ 1=1\ \checkmark\)
\(r\) einsetzen
Die dritte Gleichung stimmt — die Geraden schneiden sich.
\(S=\begin{pmatrix}1\\0\\2\end{pmatrix}+1\cdot\begin{pmatrix}2\\1\\-1\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}3\\1\\1\end{pmatrix}\)
Ergebnis
Probe mit \(h\): \((3|3|-1)+2\cdot(0|-1|1)=(3|1|1)\).
Merke

Schnittpunkt: \(S=\vec p+r_0\cdot\vec u=\vec q+s_0\cdot\vec v\), wenn \((r_0;s_0)\) alle drei Gleichungen erfüllt

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Rechner und Flugbahnen

Mit dem Rechner geht das Lösen schneller — die Deutung bleibt deine Aufgabe.

  • GTR:Casio fx-CG50: MENU → Equation → SIMUL (F1) → 2 Unbekannte (F1); I und II als \(2r+0s=2\) und \(1r+1s=3\) eingeben, SOLVE (F1) → \(x=1,\ y=2\) (für \(r\) und \(s\)). Gleichung III von Hand prüfen.
  • CAS:TI-Nspire CX CAS: solve(1+2r=3 and r=3−s and 2−r=−1+s,{r,s}) → r=1 and s=2; bei windschiefen Geraden erscheint false.
  • Bahnen:Beschreibt der Parameter die Zeit, dann ist der Schnittpunkt nur der Ort, an dem sich die Bahnen kreuzen.
  • Begegnung:Zusammenstoß nur, wenn beide zur selben Zeit dort sind: \(r_0=s_0\).
  • Abstand zur Zeit t:\(d(t)=|\vec q+t\vec v-(\vec p+t\vec u)|\) — hier wird bewusst derselbe Parameter benutzt.

Starte die Simulation mit ▶. Zwei Flugzeuge fliegen geradlinig, der Parameter ist die Zeit in Minuten. Vergleiche die drei Lagen: Kreuzen die Bahnen sich — und sind die Flugzeuge dann gleichzeitig am selben Ort?

Zwei Flugbahnen

Halte fest: Ein Schnittpunkt der Bahnen bedeutet noch keinen Zusammenstoß — dafür müssen die Parameter gleich sein.

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Allgemeine Hinweise

Verschiedene Parameter

Für den Schnittpunkt immer \(r\) und \(s\). Mit einem gemeinsamen \(t\) findest du nur gleichzeitige Begegnungen.

Dritte Gleichung

Wer nur zwei Gleichungen löst, „findet“ auch bei windschiefen Geraden einen Schnittpunkt.

Doppelte Probe

\(S\) mit \(r_0\) in \(g\) und mit \(s_0\) in \(h\) berechnen — beide Ergebnisse müssen übereinstimmen.

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