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Abituraufgaben: Schnittpunkte von Geraden

Zwei Laserstrahlen und zwei Flugzeuge im Luftraum — Schnittpunkte berechnen und Zeiten vergleichen.

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Zwei Laserstrahlen

AFB I–II

Für eine Lichtshow werden zwei Laser aufgestellt. Strahl 1 verläuft entlang \(l_1\colon\ \vec x=(0|0|2)+r\cdot(2|1|0)\), Strahl 2 entlang \(l_2\colon\ \vec x=(6|0|0)+s\cdot(-1|1|1)\) (in m). Dort, wo sich die Strahlen treffen, soll eine Kugel aus Glas hängen.

Zwei Laserstrahlen
x₁x₂x₃L₁L₂S
Laser \(L_1\) (blau) und \(L_2\) (orange), Maße in m.
  1. Zeigen Sie, dass sich die Strahlen treffen.
  2. Geben Sie die Position der Glaskugel an.
  3. Berechnen Sie den Schnittwinkel der beiden Strahlen.

Hinweise

Hinweis zu Aufgabe a)
Gleichsetzen: drei Gleichungen für \(r\) und \(s\).
Hinweis zu Aufgabe b)
Parameter einsetzen.
Hinweis zu Aufgabe c)
Winkel zwischen den Richtungsvektoren, Betrag im Zähler.

Erwartungshorizont

Erwartungshorizont zu Aufgabe a)

I: \(2r=6-s\), II: \(r=s\), III: \(2=s\). Aus III \(s=2\), aus II \(r=2\); I: \(4=4\) ✓. Das System ist eindeutig lösbar — die Strahlen schneiden sich.

Erwartungshorizont zu Aufgabe b)

\(S=(0|0|2)+2\cdot(2|1|0)=(4|2|2)\). Probe: \((6|0|0)+2\cdot(-1|1|1)=(4|2|2)\) ✓. Die Kugel hängt 2 m hoch bei \((4|2)\).

Erwartungshorizont zu Aufgabe c)

\((2|1|0)\cdot(-1|1|1)=-1\), Beträge \(\sqrt5\) und \(\sqrt3\). \(\cos\alpha=\frac{1}{\sqrt{15}}\approx0{,}258\Rightarrow\alpha\approx75{,}0^\circ\).

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Staffelung im Luftraum

AFB II–III

Flugzeug 1 fliegt entlang \(\vec x=(0|0|8)+t\cdot(6|8|0)\), Flugzeug 2 entlang \(\vec x=(42|20|11)+t\cdot(-3|2|{-}0{,}5)\) (Koordinaten in km, \(t\) in Minuten ab 12:00 Uhr). Die Flugsicherung verlangt zu jedem Zeitpunkt einen Abstand von mindestens 5 km.

Zwei Flugbahnen
x₁x₂x₃F₁F₂S
Flugzeug 1 (blau) und Flugzeug 2 (orange) mit Startpunkten zur Zeit \(t=0\); Koordinaten in km, Höhen überhöht.
  1. Weisen Sie nach, dass sich die Flugbahnen im Punkt \(S(24|32|8)\) kreuzen.
  2. Interpretieren Sie die beiden Parameterwerte im Sachzusammenhang.
  3. Ermitteln Sie den Abstand der Flugzeuge um 12:05 Uhr.
  4. Beurteilen Sie, ob der Mindestabstand von 5 km zu jedem Zeitpunkt eingehalten wird.

Hinweise

Hinweis zu Aufgabe a)
Mit getrennten Parametern prüfen, ob \(S\) auf beiden Bahnen liegt.
Hinweis zu Aufgabe b)
Der Parameter ist die Zeit in Minuten.
Hinweis zu Aufgabe c)
Beide Positionen für \(t=5\) bestimmen.
Hinweis zu Aufgabe d)
Stellen Sie \(d(t)^2\) als quadratische Funktion auf und bestimmen Sie ihr Minimum.Beurteilen: mit einer Rechnung begründet ein Urteil fällen.

Erwartungshorizont

Erwartungshorizont zu Aufgabe a)

Bahn 1: \(6r=24\Rightarrow r=4\), dann \(8r=32\) ✓, \(x_3=8\) ✓. Bahn 2: \(42-3s=24\Rightarrow s=6\), dann \(20+12=32\) ✓, \(11-3=8\) ✓. \(S\) liegt auf beiden Bahnen.

Erwartungshorizont zu Aufgabe b)

Flugzeug 1 ist um 12:04 Uhr in \(S\), Flugzeug 2 erst um 12:06 Uhr. Die Bahnen kreuzen sich, die Flugzeuge treffen sich dort aber nicht.

Erwartungshorizont zu Aufgabe c)

\(F_1(5)=(30|40|8)\), \(F_2(5)=(27|30|8{,}5)\), Differenz \((-3|{-}10|0{,}5)\): \(d=\sqrt{9+100+0{,}25}\approx10{,}45\ \text{km}\).

Erwartungshorizont zu Aufgabe d)

Differenz \(F_2(t)-F_1(t)=(42-9t\,|\,20-6t\,|\,3-0{,}5t)\), also \(d(t)^2=117{,}25t^2-999t+2173\).

Scheitel bei \(t=\frac{999}{234{,}5}\approx4{,}26\): \(d^2\approx45{,}1\Rightarrow d_{\min}\approx6{,}7\ \text{km}\) (gegen 12:04:16 Uhr). Der Mindestabstand von 5 km wird eingehalten, allerdings mit wenig Reserve.