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Übungen: Flächeninhalte bestimmen

Grundseite mal Höhe durch zwei — die Formel ist alt, neu ist nur, wie man im Raum an die Höhe kommt.

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Übungsaufgaben

Zehn Übungen zum Klicken, Zuordnen, Rechnen und Knobeln — von AFB I bis AFB III. Jede Übung gibt sofort Rückmeldung; bei Schwierigkeiten helfen die gestuften Tipps.

A1
Rechtwinkliges Dreieck
AFB I

Berechnen Sie den Flächeninhalt des Dreiecks \(A(1|1|1)\), \(B(3|1|1)\), \(C(1|4|5)\).

Rechnen Sie selbst und tragen Sie das Ergebnis ein — Enter prüft direkt.
FE
\(\overrightarrow{AB}=(2|0|0)\), \(\overrightarrow{AC}=(0|3|4)\), Skalarprodukt 0: rechter Winkel bei \(A\). \(A=\tfrac12\cdot2\cdot5=5\).
Prüfen Sie zuerst, ob \(\overrightarrow{AB}\perp\overrightarrow{AC}\) gilt.
Bei rechtem Winkel sind die Katheten Grundseite und Höhe.
A2
Richtige Flächenformeln
AFB I

Geben Sie alle Formeln an, die den Flächeninhalt eines beliebigen Dreiecks \(ABC\) liefern (\(F\) Lotfußpunkt von \(C\) auf \(AB\)).

Mehrere Antworten sind richtig. Markieren Sie alle zutreffenden und klicken Sie dann auf „Prüfen“.
½ · |AB| · |AC| stimmt nur bei einem rechten Winkel in A. |AB| · |FC| ist der Flächeninhalt des Parallelogramms — doppelt so groß.
Welche Formel gilt nur in einem Sonderfall?
Der Faktor ½ gehört immer dazu.
A3
Der Lotfußpunkt
AFB I

Setzen Sie die Begriffe ein — einer bleibt übrig.

Wort anklicken, dann Lücke anklicken (oder umgekehrt) — mit Tab und Enter geht es genauso. Ein Klick auf eine gefüllte Lücke legt das Wort zurück.

Der \(F\) liegt auf der durch \(A\) und \(B\). Die Strecke \(\overline{FC}\) steht auf \(\overline{AB}\), deshalb ist ihr mit \(\overrightarrow{AB}\) gleich null. Die Länge \(|\overrightarrow{FC}|\) ist die des Dreiecks.

„Mittelpunkt“ bleibt übrig — nur im gleichschenkligen Dreieck mit Basis AB fällt der Lotfußpunkt auf die Mitte von AB.
Wie heißt der Punkt, an dem das Lot auf eine Gerade trifft?
Senkrecht ⇔ Skalarprodukt null.
A4
Höhe über den Lotfußpunkt
AFB II

Das Dreieck hat die Ecken \(A(0|0|0)\), \(B(8|0|6)\), \(C(4|5|3)\). Werten Sie die Angaben Schritt für Schritt aus, bis der Flächeninhalt feststeht.

Rechnen Sie die Kette Schritt für Schritt: Erst wenn ein Schritt stimmt, wird der nächste freigeschaltet. Enter prüft.
  1. \(\overrightarrow{AC}\cdot\overrightarrow{AB}\)
  2. \(\overrightarrow{AB}\cdot\overrightarrow{AB}\)
  3. Parameter \(t\) des Lotfußpunkts
  4. Höhe \(h=|\overrightarrow{FC}|\)
  5. Flächeninhalt FE
\(t=\frac{50}{100}=0{,}5\), \(F=(4|0|3)\), \(\overrightarrow{FC}=(0|5|0)\), \(h=5\), \(|\overrightarrow{AB}|=10\). \(A=\tfrac12\cdot10\cdot5=25\).
\(t=\dfrac{\overrightarrow{AC}\cdot\overrightarrow{AB}}{\overrightarrow{AB}\cdot\overrightarrow{AB}}\).
\(F=A+t\cdot\overrightarrow{AB}\), dann \(h=|\overrightarrow{FC}|\).
A5
Flächen ohne Koordinaten
AFB II

Ermitteln Sie die Flächeninhalte ohne Taschenrechner.

Füllen Sie alle Felder aus und prüfen Sie dann. Enter in einem Feld prüft ebenfalls. Dezimalzahlen mit Komma oder Punkt.
FigurSeite 1Seite 2WinkelFläche
Dreieck5490°
Dreieck6430°
Parallelogramm5430°
Rechteck3490°
Dreieck: ½ · a · b · sin γ; Parallelogramm: a · b · sin γ. Mit sin 30° = 0,5 und sin 90° = 1 geht alles im Kopf.
Der eingeschlossene Winkel gehört zwischen die beiden Seiten.
sin 30° = 0,5 — das Parallelogramm ist doppelt so groß wie das Dreieck mit denselben Seiten.
A6
Parallelogramm ergänzen
MixAFB II

\(A(1|0|2)\), \(B(4|1|2)\) und \(C(5|4|3)\) sind drei Ecken des Parallelogramms \(ABCD\). Bestimmen Sie die vierte Ecke \(D\).

Die drei Koordinaten von D eintragen, Enter prüft.
\(\vec d=\vec a+\overrightarrow{BC}=(1|0|2)+(1|3|1)=(2|3|3)\). Probe: \(\overrightarrow{AB}=(3|1|0)=\overrightarrow{DC}\) ✓. Achtung: Die Reihenfolge \(A,B,C,D\) läuft einmal herum.
Im Parallelogramm gilt \(\overrightarrow{AD}=\overrightarrow{BC}\).
\(\overrightarrow{BC}=(1|3|1)\).
A7
Was für ein Viereck?
AFB II

Ordnen Sie jedes Viereck \(ABCD\) ein.

Ziehen Sie jede Karte in den passenden Korb — oder wählen Sie sie mit Enter aus und drücken Sie dann die Ziffer des Korbs (0 legt sie zurück).
1Rechteck
2Parallelogramm (kein Rechteck)
3kein Parallelogramm
Erst \(\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{DC}\) prüfen (Parallelogramm), dann \(\overrightarrow{AB}\cdot\overrightarrow{AD}=0\) (Rechteck). Die letzten beiden sind Trapez bzw. unregelmäßiges Viereck.
Zwei Prüfungen: Vektorgleichheit und Skalarprodukt.
Für „kein Parallelogramm“ genügt \(\overrightarrow{AB}\neq\overrightarrow{DC}\).
A8
Fehlersuche
AFB III

Drei der sechs Aussagen sind falsch. Überprüfen Sie jede Aussage.

In diesem Text stecken Fehler. Klicken Sie genau die falschen Zeilen an — die richtigen müssen stehen bleiben.
Der Lotfußpunkt liegt außerhalb von AB, wenn das Dreieck bei A oder B einen stumpfen Winkel hat — die Formel gilt trotzdem.
Denken Sie an ein stumpfwinkliges Dreieck.
Bei Vergrößerung wirken beide Faktoren der Formel.
A9
Trickaufgabe: C wandert weit weg
TrickAFB III

Das Dreieck hat die Ecken \(A(0|0|0)\), \(B(6|0|0)\) und \(C(t|4|0)\). Stellen Sie zuerst eine Vermutung auf und bestimmen Sie dann den Flächeninhalt für \(t=100\).

Schieben Sie den Regler auf Ihre Antwort — Pfeiltasten bewegen ihn schrittweise. Nach dem Prüfen sehen Sie den Trefferbereich.
060
Die Höhe auf AB ist der Abstand von C zur \(x_1\)-Achse, also immer 4. \(A=\tfrac12\cdot6\cdot4=12\) — für jedes \(t\). Die Falle: Mit dem weit entfernten C wirkt das Dreieck riesig, es wird aber nur lang und schmal.
Wo liegt der Lotfußpunkt von \(C\) auf der Geraden \(AB\)?
Die Höhe hängt nicht von \(t\) ab.
A10
Stimmt das?
AFB III

Beurteilen Sie die Aussagen.

Fünf Aussagen nacheinander. Eine falsche Einschätzung reicht — dann starten Sie die Serie mit „Neue Runde“ neu.
Aussage 1 von 5

Die Wahl der Grundseite ist frei — geschickt ist die Seite, zu der man die Höhe am leichtesten findet.
Zeichnen Sie sich zu jeder Aussage eine kleine Skizze.
Beim Quadrat braucht man mehr als einen rechten Winkel.