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Flächeninhalte bestimmen

Ein dreieckiges Sonnensegel hängt schräg zwischen drei Masten — wie viel Stoff braucht man dafür?

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Grundseite und Höhe

Der Flächeninhalt einer schräg im Raum liegenden Figur wird wie in der Ebene berechnet — schwierig ist nur die Höhe.

  • Dreieck:\(A=\tfrac12\cdot g\cdot h\) — wie in der Ebene, nur mit Koordinaten.
  • Grundseite:\(g=|\overrightarrow{AB}|\) als Abstand zweier Punkte.
  • Höhe:\(h=|\overrightarrow{FC}|\), wobei \(F\) der Lotfußpunkt von \(C\) auf der Geraden \(AB\) ist.
  • Lotfußpunkt:\(F=A+t\cdot\overrightarrow{AB}\) mit \(\overrightarrow{FC}\perp\overrightarrow{AB}\), also \(\overrightarrow{FC}\cdot\overrightarrow{AB}=0\).

Herleitung:

\(\overrightarrow{FC}\cdot\overrightarrow{AB}=0\)
einsetzen
Die Höhe steht senkrecht auf der Grundseite.
\(\big(\overrightarrow{AC}-t\cdot\overrightarrow{AB}\big)\cdot\overrightarrow{AB}=0\)
ausmultiplizieren
Denn \(\overrightarrow{FC}=\overrightarrow{AC}-\overrightarrow{AF}\) und \(\overrightarrow{AF}=t\cdot\overrightarrow{AB}\).
\(\overrightarrow{AC}\cdot\overrightarrow{AB}-t\cdot\overrightarrow{AB}\cdot\overrightarrow{AB}=0\)
\(:\overrightarrow{AB}\cdot\overrightarrow{AB}\)
Nach \(t\) auflösen.
\(t=\dfrac{\overrightarrow{AC}\cdot\overrightarrow{AB}}{\overrightarrow{AB}\cdot\overrightarrow{AB}}\)
Ergebnis
Damit liegt \(F\) fest und \(h=|\overrightarrow{FC}|\).
Merke

Flächeninhalt eines Dreiecks: \(A=\tfrac12\cdot|\overrightarrow{AB}|\cdot|\overrightarrow{FC}|\)

Links hängt ein dreieckiges Sonnensegel im Raum, rechts siehst du es in wahrer Größe. Gehe Schritt für Schritt: Höhe einzeichnen, zum Parallelogramm ergänzen, ein Stück umlegen — bis ein Rechteck entsteht.

Vom Segel zum Rechteck

Halte fest: Zwei gleiche Dreiecke ergeben ein Parallelogramm, und das lässt sich zu einem Rechteck \(g\times h\) umlegen — daher der Faktor \(\tfrac12\).

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Weitere Figuren

Parallelogramme, Rechtecke und Vielecke führt man auf Dreiecke zurück.

  • Über den Winkel:\(A=\tfrac12\cdot|\overrightarrow{AB}|\cdot|\overrightarrow{AC}|\cdot\sin\alpha\) mit \(\alpha\) aus dem Skalarprodukt.
  • Parallelogramm:\(A=|\overrightarrow{AB}|\cdot h\) — doppelt so groß wie das Dreieck \(ABC\).
  • Rechteck:Erst \(\overrightarrow{AB}\cdot\overrightarrow{AD}=0\) prüfen, dann \(A=|\overrightarrow{AB}|\cdot|\overrightarrow{AD}|\).
  • Vielecke:Entlang von Diagonalen in Dreiecke zerlegen und die Teilflächen addieren.
  • CAS:TI-Nspire CX CAS: solve(dotP(a+t·(b−a)−c, b−a)=0, t) liefert den Parameter des Lotfußpunkts.
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Allgemeine Hinweise

Die Höhe ist keine Seite

Nur im rechtwinkligen Dreieck ist eine Seite zugleich Höhe. Sonst immer den Lotfußpunkt bestimmen.

Rechten Winkel zuerst suchen

Ist \(\overrightarrow{AB}\cdot\overrightarrow{AC}=0\), gilt direkt \(A=\tfrac12\cdot|\overrightarrow{AB}|\cdot|\overrightarrow{AC}|\).

Parallelogramm oder Dreieck?

\(|\overrightarrow{AB}|\cdot h\) ist das Parallelogramm. Für das Dreieck den Faktor \(\tfrac12\) nicht vergessen.

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