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Abituraufgaben: Flächeninhalte bestimmen

Ein Sonnensegel und eine Dachfläche für Solarmodule — Flächen im Raum berechnen und bewerten.

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Sonnensegel

AFB I–II

Ein dreieckiges Sonnensegel wird an den Punkten \(A(0|0|3)\), \(B(8|0|3)\) und \(C(4|6|0)\) befestigt (in m). Für den Zuschnitt rechnet man 10 % Stoff zusätzlich.

Sonnensegel
x₁x₂x₃ABCF
Segel \(ABC\) mit Höhe \(\overline{FC}\) (rot gestrichelt), Maße in m.
  1. Zeigen Sie, dass das Segel gleichschenklig ist.
  2. Bestimmen Sie den Lotfußpunkt \(F\) von \(C\) auf \(AB\) und die Höhe.
  3. Berechnen Sie den Flächeninhalt des Segels.
  4. Geben Sie den Stoffbedarf für den Zuschnitt an.

Hinweise

Hinweis zu Aufgabe a)
Zwei Seitenlängen vergleichen.
Hinweis zu Aufgabe b)
Formel für \(t\) — im gleichschenkligen Dreieck liegt \(F\) in der Mitte der Basis.
Hinweis zu Aufgabe c)
\(A=\tfrac12\cdot g\cdot h\).
Hinweis zu Aufgabe d)
10 % Aufschlag.

Erwartungshorizont

Erwartungshorizont zu Aufgabe a)

\(|\overrightarrow{AC}|=|(4|6|{-}3)|=\sqrt{61}\), \(|\overrightarrow{BC}|=|(-4|6|{-}3)|=\sqrt{61}\). Die Schenkel \(\overline{AC}\) und \(\overline{BC}\) sind gleich lang.

Erwartungshorizont zu Aufgabe b)

\(t=\frac{(4|6|{-}3)\cdot(8|0|0)}{64}=0{,}5\), \(F(4|0|3)\). \(\overrightarrow{FC}=(0|6|{-}3)\), \(h=\sqrt{45}\approx6{,}71\ \text{m}\).

Erwartungshorizont zu Aufgabe c)

\(A=\tfrac12\cdot8\cdot\sqrt{45}\approx26{,}83\ \text{m}^2\).

Erwartungshorizont zu Aufgabe d)

\(26{,}83\cdot1{,}1\approx29{,}5\ \text{m}^2\) Stoff.

2

Solarmodule auf dem Walmdach

AFB II–III

Eine Dachfläche hat die Ecken \(A(0|0|4)\), \(B(10|0|4)\), \(C(8|3|7)\) und \(D(2|3|7)\) (in m). Ein Solarmodul bedeckt 1,7 m²; wegen Randabständen lassen sich höchstens 80 % der Dachfläche belegen.

Dachfläche
x₁x₂x₃ABCD
Trapezförmige Dachfläche \(ABCD\) eines Walmdachs, Maße in m.
  1. Weisen Sie nach, dass \(ABCD\) ein Trapez, aber kein Parallelogramm ist.
  2. Ermitteln Sie den Flächeninhalt, indem Sie das Trapez entlang \(\overline{BD}\) in zwei Dreiecke zerlegen.
  3. Beurteilen Sie die Aussage des Verkäufers: „Auf diese Dachfläche passen 20 Module.“

Hinweise

Hinweis zu Aufgabe a)
Vergleichen Sie \(\overrightarrow{AB}\) und \(\overrightarrow{DC}\).
Hinweis zu Aufgabe b)
Beide Dreiecke haben dieselbe Höhe — den Abstand der parallelen Seiten.
Hinweis zu Aufgabe c)
Belegbare Fläche berechnen und durch die Modulfläche teilen.

Erwartungshorizont

Erwartungshorizont zu Aufgabe a)

\(\overrightarrow{AB}=(10|0|0)\), \(\overrightarrow{DC}=(6|0|0)=0{,}6\cdot\overrightarrow{AB}\): parallel, aber verschieden lang. \(\overrightarrow{AD}=(2|3|3)\) und \(\overrightarrow{BC}=(-2|3|3)\) sind nicht parallel — Trapez, kein Parallelogramm.

Erwartungshorizont zu Aufgabe b)

Lotfußpunkt von \(D\) auf \(AB\): \(t=\frac{(2|3|3)\cdot(10|0|0)}{100}=0{,}2\), \(F(2|0|4)\), \(h=|(0|3|3)|=\sqrt{18}\approx4{,}24\).

\(A_{ABD}=\tfrac12\cdot10\cdot4{,}24\approx21{,}21\), \(A_{BCD}=\tfrac12\cdot6\cdot4{,}24\approx12{,}73\). Gesamt \(\approx33{,}94\ \text{m}^2\) (Kontrolle mit der Trapezformel: \(\frac{10+6}{2}\cdot4{,}24\)).

Erwartungshorizont zu Aufgabe c)

\(0{,}8\cdot33{,}94\approx27{,}15\ \text{m}^2\), \(27{,}15:1{,}7\approx15{,}97\). Es passen höchstens 15 Module (bei günstiger Form eher weniger, weil das Trapez nach oben schmaler wird). Die Aussage ist deutlich zu optimistisch.