Wann ist das Skalarprodukt negativ, wie groß kann es höchstens werden — und was hat es mit Schatten zu tun?
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Übungsaufgaben
Zehn Übungen zum Klicken, Zuordnen, Rechnen und Knobeln — von AFB I bis AFB III. Jede Übung gibt sofort Rückmeldung; bei Schwierigkeiten helfen die gestuften Tipps.
A1
Skalarprodukt berechnen
AFB I
Berechnen Sie \(\vec a\cdot\vec b\) für \(\vec a=(3|{-}1|2)\) und \(\vec b=(4|5|{-}2)\).
Rechnen Sie selbst und tragen Sie das Ergebnis ein — Enter prüft direkt.
\(3\cdot4+(-1)\cdot5+2\cdot(-2)=12-5-4=3\). Typischer Fehler: das Ergebnis als Vektor \((12|{-}5|{-}4)\) aufschreiben.
Koordinatenweise multiplizieren und die drei Produkte addieren.
Achten Sie auf die Vorzeichen: \((-1)\cdot5=-5\) und \(2\cdot(-2)=-4\).
A2
Zahl oder Vektor?
AFB I
Geben Sie alle Ausdrücke an, deren Ergebnis eine Zahl (ein Skalar) ist.
Mehrere Antworten sind richtig. Markieren Sie alle zutreffenden und klicken Sie dann auf „Prüfen“.
Skalarprodukt und Betrag liefern Zahlen. \((\vec a\cdot\vec b)\cdot\vec c\) ist eine Zahl mal ein Vektor — also wieder ein Vektor, genau wie \(3\vec a\) und \(\vec a+\vec b\).
Das Skalarprodukt zweier Vektoren ist eine Zahl. Was passiert, wenn man eine Zahl mit einem Vektor multipliziert?
Der Betrag ist eine Länge — ebenfalls eine Zahl.
A3
Paare und Ergebnisse
AFB I
Ordnen Sie jedem Vektorpaar sein Skalarprodukt zu.
Klicken Sie links einen Eintrag an und dann rechts den passenden — es entsteht eine Verbindungslinie. Mit der Tastatur: Enter zum Auswählen, ↑/↓ zum Wandern.
3 + 4 + 3 = 10; 2 + 0 − 2 = 0; −2 + 3 − 4 = −3; 4 − 1 + 0 = 3; 2 + 2 + 2 = 6. Das Paar mit dem Ergebnis 0 steht senkrecht aufeinander.
Rechnen Sie alle fünf Skalarprodukte im Kopf aus.
Nur ein Ergebnis ist negativ — es gehört zu dem Paar mit dem Faktor −4.
A4
Aussagen zum Skalarprodukt
AFB II
Beurteilen Sie die Aussagen nacheinander.
Fünf Aussagen nacheinander. Eine falsche Einschätzung reicht — dann starten Sie die Serie mit „Neue Runde“ neu.
Aussage 1 von 5
Das Skalarprodukt verhält sich in vielem wie ein normales Produkt (vertauschbar, Vielfache), aber „Kürzen“ ist nicht erlaubt.
Denken Sie an die geometrische Form \(|\vec a|\cdot|\vec b|\cdot\cos\alpha\).
Suchen Sie bei Zweifel ein Gegenbeispiel mit einfachen Vektoren wie \((1|0|0)\).
A5
Welches Vorzeichen?
MixAFB II
Ordnen Sie jede Situation nach dem Vorzeichen des Skalarprodukts ein.
Ziehen Sie jede Karte in den passenden Korb — oder wählen Sie sie mit Enter aus und drücken Sie dann die Ziffer des Korbs (0 legt sie zurück).
Der Schatten \(b_a\) entscheidet: Zeigt er in Richtung \(\vec a\), ist das Produkt positiv.
Bei Koordinaten einfach ausrechnen — nur das Vorzeichen zählt.
A6
Schatten berechnen
AFB II
Gegeben sind \(\vec a=(3|4|0)\) und \(\vec b=(5|0|5)\). Bestimmen Sie \(\vec a\cdot\vec b\) und die Schattenlänge \(b_a\) von \(\vec b\) auf \(\vec a\).
Beide Werte eintragen, Enter prüft.
\(\vec a\cdot\vec b=15+0+0=15\), \(|\vec a|=5\), also \(b_a=\dfrac{\vec a\cdot\vec b}{|\vec a|}=3\). Der Schatten ist kürzer als \(|\vec b|=\sqrt{50}\approx7{,}07\).
Ermitteln Sie jeweils \(\vec a\cdot\vec b\) aus den Beträgen und dem Winkel — ohne Taschenrechner.
Füllen Sie alle Felder aus und prüfen Sie dann. Enter in einem Feld prüft ebenfalls. Dezimalzahlen mit Komma oder Punkt.
|a|
|b|
α
a · b
2
5
60°
3
4
90°
4
4
180°
6
2
120°
cos 60° = 0,5 → 5; cos 90° = 0 → 0; cos 180° = −1 → −16; cos 120° = −0,5 → −6. Die Beträge bleiben gleich, nur der Kosinus entscheidet über Größe und Vorzeichen.
Sechs Aussagen aus einer Hausaufgabe — drei sind falsch. Überprüfen Sie jede Zeile.
In diesem Text stecken Fehler. Klicken Sie genau die falschen Zeilen an — die richtigen müssen stehen bleiben.
Der letzte Fehler ist subtil: Das Skalarprodukt kennt nur den Schatten von b, nicht die volle Länge.
Rechnen Sie die erste Zeile selbst nach.
Zur letzten Zeile: \(\vec a\cdot\vec b=|\vec a|\cdot b_a\) — was ist hier bekannt, was nicht?
A9
Trickaufgabe: So groß wie möglich
TrickAFB III
Es gilt \(|\vec a|=3\) und \(|\vec b|=5\). Untersuchen Sie, welchen Wert \(\vec a\cdot\vec b\) höchstens annehmen kann.
Schieben Sie den Regler auf Ihre Antwort — Pfeiltasten bewegen ihn schrittweise. Nach dem Prüfen sehen Sie den Trefferbereich.
040
Maximal wird \(\cos\alpha=1\), also \(\alpha=0^\circ\): \(3\cdot5\cdot1=15\). Die Fallen: 34 (\(3^2+5^2\)) oder 8 (\(3+5\)). Größer als das Produkt der Beträge kann das Skalarprodukt nie werden.
Welcher Winkel macht \(\cos\alpha\) am größten?
Wenn \(\vec b\) in dieselbe Richtung wie \(\vec a\) zeigt, ist der Schatten so lang wie \(\vec b\) selbst.
A10
Der Schlitten
AFB III
Ein Kind zieht einen Schlitten mit der Kraft \(\vec F=(60|0|30)\) (in N) über ebenen Schnee, der Schlitten bewegt sich um \(\vec s=(40|0|0)\) (in m). Werten Sie die Situation Schritt für Schritt aus.
Rechnen Sie die Kette Schritt für Schritt: Erst wenn ein Schritt stimmt, wird der nächste freigeschaltet. Enter prüft.
\(\vec F\cdot\vec s\) (in N·m)N·m
\(|\vec F|\) (zwei Nachkommastellen)N
Winkel zwischen Seil und Boden (eine Nachkommastelle)°
Kraftanteil in FahrtrichtungN
\(\vec F\cdot\vec s=2400\), \(|\vec F|=\sqrt{4500}\approx67{,}08\), \(\cos\alpha=\frac{2400}{67{,}08\cdot40}\approx0{,}894\Rightarrow\alpha\approx26{,}6^\circ\). Der Schatten der Kraft auf die Fahrtrichtung ist \(F_s=\frac{2400}{40}=60\ \text{N}\) — der senkrechte Anteil von 30 N hebt den Schlitten nur leicht an.
\(|\vec s|=40\). Der Kraftanteil in Fahrtrichtung ist der Schatten \(F_s=\frac{\vec F\cdot\vec s}{|\vec s|}\).
Den Winkel liefert \(\cos\alpha=\frac{\vec F\cdot\vec s}{|\vec F|\cdot|\vec s|}\).
