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Skalarprodukt als Projektion

Ein Kind zieht einen Schlitten schräg nach oben — wie viel von seinem Zug wirkt wirklich in Fahrtrichtung?

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Rechnen mit Koordinaten

Das Skalarprodukt verrechnet zwei Vektoren zu einer einzigen Zahl.

  • Definition:\(\vec a\cdot\vec b=a_1b_1+a_2b_2+a_3b_3\) — das Ergebnis ist eine Zahl, kein Vektor.
  • Beispiel:\(\begin{pmatrix}2\\1\\3\end{pmatrix}\cdot\begin{pmatrix}1\\-4\\2\end{pmatrix}=2-4+6=4\)
  • In der Ebene:\(\vec a\cdot\vec b=a_1b_1+a_2b_2\).
  • Rechenregeln:\(\vec a\cdot\vec b=\vec b\cdot\vec a\), \((r\vec a)\cdot\vec b=r\,(\vec a\cdot\vec b)\), \(\vec a\cdot\vec a=|\vec a|^2\).
  • GTR:Casio fx-CG50, Run-Matrix: OPTN → MAT/VCT (F2) → ▷ (F6) → ▷ (F6) → DotP( (F2), dann [[2,1,3]] , [[1,−4,2]] ) EXE → 4.
  • CAS:TI-Nspire CX CAS: menu → 7 Matrix & Vektor → C Vektor → 3 Skalarprodukt, also dotP([2,1,3],[1,−4,2]) → 4.
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Die geometrische Deutung

Das Skalarprodukt misst, wie weit ein Vektor in die Richtung des anderen zeigt.

  • Projektion:Von der Spitze von \(\vec b\) das Lot auf die Gerade durch \(\vec a\) fällen — Fußpunkt \(F\).
  • Schatten:\(b_a\) ist die Länge von \(\overline{OF}\) mit Vorzeichen: positiv in Richtung \(\vec a\), negativ entgegen.
  • Winkel:\(\alpha\) ist der Winkel zwischen \(\vec a\) und \(\vec b\) mit \(0^\circ\le\alpha\le180^\circ\).

Herleitung:

\(\cos\alpha=\dfrac{b_a}{|\vec b|}\)
\(\cdot|\vec b|\)
Kosinus im rechtwinkligen Dreieck aus \(O\), \(F\) und der Spitze von \(\vec b\).
\(b_a=|\vec b|\cdot\cos\alpha\)
\(\cdot|\vec a|\)
Länge des Schattens; für \(\alpha>90^\circ\) wird der Kosinus negativ.
\(|\vec a|\cdot b_a=|\vec a|\cdot|\vec b|\cdot\cos\alpha\)
deuten
Genau diese Zahl liefert auch die Koordinatenformel (Kosinussatz).
\(\vec a\cdot\vec b=|\vec a|\cdot b_a=|\vec a|\cdot|\vec b|\cdot\cos\alpha\)
Ergebnis
Skalarprodukt = Länge von \(\vec a\) mal Schatten von \(\vec b\).
Merke

Skalarprodukt geometrisch: \(\vec a\cdot\vec b=|\vec a|\cdot b_a=|\vec a|\cdot|\vec b|\cdot\cos\alpha\)

Ziehe die Spitzen von \(\vec a\) und \(\vec b\) (oder wähle sie an und nutze die Pfeiltasten). Vergleiche das Skalarprodukt aus den Koordinaten mit dem Produkt aus Länge und Schatten.

Der Schatten von b auf a

Halte fest: Spitzer Winkel — Schatten und Skalarprodukt positiv; rechter Winkel — beide null; stumpfer Winkel — beide negativ.

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Allgemeine Hinweise

Eine Zahl, kein Vektor

\(\vec a\cdot\vec b\) ist ein Skalar. Ein Ausdruck wie \(\vec a\cdot\vec b\cdot\vec c\) ohne Klammern ist sinnlos.

Vorzeichen lesen

Schon das Vorzeichen verrät den Winkel: positiv spitz, null rechtwinklig, negativ stumpf.

Betrag aus dem Skalarprodukt

\(\vec a\cdot\vec a=|\vec a|^2\) — für die Länge noch die Wurzel ziehen: \(|\vec a|=\sqrt{\vec a\cdot\vec a}\).

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