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Abituraufgaben: Skalarprodukt als Projektion

Wind im Segel und eine Kiste auf der Rampe — welcher Teil einer Kraft wirkt wirklich in Bewegungsrichtung?

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Wind im Segel

AFB I–II

Auf das Segel eines Bootes wirkt die Windkraft \(\vec F=(300|{-}100|0)\) (in N). Das Boot fährt in Richtung \(\vec u=(4|3|0)\).

Wind und Fahrtrichtung
x₁x₂x₃MFu
Draufsicht-Idee im Schrägbild: Windkraft \(\vec F\) (orange) und Fahrtrichtung \(\vec u\) (blau) am Punkt \(M\).
  1. Berechnen Sie \(\vec F\cdot\vec u\).
  2. Bestimmen Sie den Anteil der Windkraft in Fahrtrichtung.
  3. Ermitteln Sie den Winkel zwischen Windkraft und Fahrtrichtung.
  4. Erklären Sie mithilfe der Projektion, warum der Anteil in Fahrtrichtung kleiner ist als \(|\vec F|\).

Hinweise

Hinweis zu Aufgabe a)
Koordinatenweise multiplizieren und addieren.
Hinweis zu Aufgabe b)
Gesucht ist der Schatten \(F_u\) von \(\vec F\) auf \(\vec u\): \(\vec F\cdot\vec u=|\vec u|\cdot F_u\).
Hinweis zu Aufgabe c)
\(\cos\alpha=\frac{F_u}{|\vec F|}\) oder mit der Winkelformel.
Hinweis zu Aufgabe d)
Denken Sie an das rechtwinklige Dreieck aus \(\vec F\), Schatten und Lot.

Erwartungshorizont

Erwartungshorizont zu Aufgabe a)

\(\vec F\cdot\vec u=300\cdot4+(-100)\cdot3+0=1200-300=900\).

Erwartungshorizont zu Aufgabe b)

\(|\vec u|=5\), also \(F_u=\frac{900}{5}=180\ \text{N}\).

Erwartungshorizont zu Aufgabe c)

\(|\vec F|=\sqrt{100\,000}\approx316{,}2\ \text{N}\), \(\cos\alpha=\frac{180}{316{,}2}\approx0{,}569\Rightarrow\alpha\approx55{,}3^\circ\).

Erwartungshorizont zu Aufgabe d)

Der Anteil in Fahrtrichtung ist die Kathete eines rechtwinkligen Dreiecks, dessen Hypotenuse \(\vec F\) ist: \(F_u=|\vec F|\cdot\cos\alpha\) mit \(\cos\alpha<1\). Nur wenn der Wind genau in Fahrtrichtung weht (\(\alpha=0^\circ\)), wirkt die volle Kraft vorwärts.

2

Kiste auf der Rampe

AFB II–III

Eine Kiste wird eine Rampe hinaufgezogen. Die Rampe führt von \(A(0|0|0)\) nach \(B(4|0|3)\) (in m). Das Zugseil übt die Kraft \(\vec F=(80|0|100)\) aus, auf die Kiste wirkt die Gewichtskraft \(\vec G=(0|0|{-}300)\) (jeweils in N). Reibung wird vernachlässigt.

Kiste auf der Rampe
x₁x₂x₃ABFG
Rampe \(\overline{AB}\) (blau), Seilkraft (orange) und Gewichtskraft (rot) an der Kiste in \(A\); Maße in m.
  1. Deuten Sie \(\vec F\cdot\overrightarrow{AB}\) als Produkt aus der Rampenlänge und einem Kraftanteil.
  2. Untersuchen Sie, welchen Anteil die Gewichtskraft entlang der Rampe hat, und deuten Sie das Vorzeichen.
  3. Beurteilen Sie, ob die Kiste mit dieser Seilkraft die Rampe hinaufgezogen werden kann.
  4. Entwickeln Sie einen Vorschlag, wie das Seil bei gleichem Kraftbetrag gerichtet sein müsste, damit der Anteil entlang der Rampe möglichst groß wird, und prüfen Sie, ob das genügt.

Hinweise

Hinweis zu Aufgabe a)
\(\vec F\cdot\overrightarrow{AB}=|\overrightarrow{AB}|\cdot F_{AB}\) — was ist \(F_{AB}\)?
Hinweis zu Aufgabe b)
Gleiches Verfahren wie in a), mit \(\vec G\).
Hinweis zu Aufgabe c)
Vergleichen Sie die beiden Anteile entlang der Rampe.
Hinweis zu Aufgabe d)
Wann ist der Schatten einer Kraft auf eine Richtung am größten?Entwickeln: eine Lösungsidee begründet entwerfen und prüfen.

Erwartungshorizont

Erwartungshorizont zu Aufgabe a)

\(\vec F\cdot\overrightarrow{AB}=320+0+300=620\), \(|\overrightarrow{AB}|=5\). Also \(620=5\cdot124\): Die Seilkraft wirkt mit 124 N entlang der Rampe (ihr Schatten auf die Rampenrichtung).

Erwartungshorizont zu Aufgabe b)

\(\vec G\cdot\overrightarrow{AB}=-900\), also \(G_{AB}=-180\ \text{N}\). Das negative Vorzeichen zeigt: Dieser Anteil wirkt entgegen der Richtung \(A\to B\), er zieht die Kiste hangabwärts.

Erwartungshorizont zu Aufgabe c)

Hangaufwärts wirken 124 N, hangabwärts 180 N. Die Seilkraft reicht nicht aus — die Kiste rutscht (ohne Reibung) sogar zurück.

Erwartungshorizont zu Aufgabe d)

Der Anteil \(|\vec F|\cdot\cos\alpha\) ist maximal für \(\alpha=0^\circ\), das Seil muss also parallel zur Rampe ziehen. Dann ist der Anteil gleich \(|\vec F|=\sqrt{6400+10\,000}\approx128\ \text{N}\).

Das ist immer noch weniger als 180 N — auch optimal gerichtet reicht diese Kraft nicht. Man braucht eine Seilkraft von mehr als 180 N oder eine flachere Rampe.