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Übungen: Abstand zweier Punkte

Warum ist die Raumdiagonale eines Würfels nie dreimal so lang wie seine Kante — und wie findet man Punkte mit vorgegebenem Abstand?

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Übungsaufgaben

Zehn Übungen zum Klicken, Zuordnen, Rechnen und Knobeln — von AFB I bis AFB III. Jede Übung gibt sofort Rückmeldung; bei Schwierigkeiten helfen die gestuften Tipps.

A1
Abstand 3 vom Ursprung
AFB I

Geben Sie alle Punkte an, die vom Ursprung \(O\) genau den Abstand 3 haben.

Mehrere Antworten sind richtig. Markieren Sie alle zutreffenden und klicken Sie dann auf „Prüfen“.
Für P, S und U ergibt sich jeweils √(4 + 4 + 1) = 3, für Q direkt 3. R liegt bei √3 ≈ 1,73, T bei √27 ≈ 5,20. Vorzeichen spielen beim Quadrieren keine Rolle.
Berechnen Sie für jeden Punkt √(x₁² + x₂² + x₃²).
Gesucht ist x₁² + x₂² + x₃² = 9 — dann müssen Sie gar keine Wurzel ziehen.
A2
Abstand berechnen
AFB I

Berechnen Sie den Abstand der Punkte \(A(2|{-}1|4)\) und \(B(5|3|16)\).

Rechnen Sie selbst und tragen Sie das Ergebnis ein — Enter prüft direkt.
LE
\(\overrightarrow{AB}=(3|4|12)\), also \(d=\sqrt{9+16+144}=\sqrt{169}=13\). Wer \(3+4+12=19\) erhält, hat die Wurzel „in die Summe gezogen“.
Bilden Sie zuerst den Verbindungsvektor „Spitze minus Fuß“.
Quadrieren, addieren, Wurzel ziehen: 9 + 16 + 144 = ?
A3
Fachbegriffe einsetzen
AFB I

Setzen Sie die Fachbegriffe an die richtige Stelle — ein Begriff bleibt übrig.

Wort anklicken, dann Lücke anklicken (oder umgekehrt) — mit Tab und Enter geht es genauso. Ein Klick auf eine gefüllte Lücke legt das Wort zurück.

Der Abstand zweier Punkte ist der ihres . Man addiert die der drei Koordinatendifferenzen und zieht daraus die . Geometrisch ist der Abstand die eines Quaders, dessen Kanten die Koordinatendifferenzen sind.

„Produkt“ bleibt übrig: Beim Abstand wird nichts miteinander multipliziert — das passiert erst beim Skalarprodukt in 7.1.2.
Der Abstand ist eine Länge — wie heißt die Länge eines Vektors?
Denken Sie an die Herleitung: zweimal Pythagoras im Quader.
A4
Seitenlängen eines Dreiecks
AFB II

Das Dreieck hat die Ecken \(A(1|0|2)\), \(B(4|4|2)\) und \(C(1|4|6)\). Ermitteln Sie die drei Seitenlängen (auf zwei Nachkommastellen).

Füllen Sie alle Felder aus und prüfen Sie dann. Enter in einem Feld prüft ebenfalls. Dezimalzahlen mit Komma oder Punkt.
Seite|AB||AC||BC|
Länge in LE
\(\overrightarrow{AB}=(3|4|0)\to5\), \(\overrightarrow{AC}=(0|4|4)\to\sqrt{32}\approx5{,}66\), \(\overrightarrow{BC}=(-3|0|4)\to5\). Zwei gleich lange Seiten: Das Dreieck ist gleichschenklig mit der Basis \(\overline{AC}\).
Drei Verbindungsvektoren bilden, dann jeweils den Betrag.
\(|\overrightarrow{AC}|=\sqrt{0+16+16}=\sqrt{32}\) — den Rest mit dem Taschenrechner runden.
A5
Welche Art von Dreieck?
MixAFB II

Ordnen Sie jedes Dreieck der passenden Art zu. Rechnen Sie dafür die Seitenlängen im Kopf oder auf dem Zettel.

Ziehen Sie jede Karte in den passenden Korb — oder wählen Sie sie mit Enter aus und drücken Sie dann die Ziffer des Korbs (0 legt sie zurück).
1gleichseitig
2gleichschenklig (nicht gleichseitig)
3keine gleichen Seiten
Die beiden ersten Dreiecke haben drei Seiten der Länge √2. (1|2|2) hat vom Ursprung den Abstand 3 — genau wie (3|0|0), die dritte Seite ist √12. Das 3-4-5-Dreieck und das Dreieck mit den Seiten 2, √45 und 7 haben keine gleichen Seiten.
Berechnen Sie für jedes Dreieck die drei Abstände — oft reicht schon der Vergleich der Quadrate.
Zwei Punkte, die vom Ursprung gleich weit entfernt sind, liefern schon zwei gleich lange Seiten.
A6
Punkt auf der Achse gesucht
AFB II

Der Punkt \(P(0|p|0)\) liegt auf der \(x_2\)-Achse und hat von \(A(3|2|4)\) den Abstand \(\sqrt{50}\). Bestimmen Sie beide möglichen Werte von \(p\).

Beide Werte eintragen, Enter prüft.
\(9+(p-2)^2+16=50\Rightarrow(p-2)^2=25\Rightarrow p-2=\pm5\), also \(p=7\) oder \(p=-3\). Eine Kugel um \(A\) schneidet die Achse in zwei Punkten — deshalb gibt es zwei Lösungen.
Stellen Sie die Abstandsformel mit \(P(0|p|0)\) auf und quadrieren Sie beide Seiten.
Aus \((p-2)^2=25\) folgen zwei Werte: \(p-2=5\) oder \(p-2=-5\).
A7
Seilbahn in den Bergen
AFB II

Die Talstation einer Seilbahn liegt bei \(T(200|100|450)\), die Bergstation bei \(B(1400|1000|1250)\) (Angaben in m, \(x_3\) = Höhe). Werten Sie die Angaben Schritt für Schritt aus.

Rechnen Sie die Kette Schritt für Schritt: Erst wenn ein Schritt stimmt, wird der nächste freigeschaltet. Enter prüft.
  1. Waagerechte Entfernung (Luftlinie auf der Karte) m
  2. Höhenunterschied m
  3. Länge der Seilstrecke (gerade gespannt) m
  4. Fahrzeit bei 5 m/s s
\(\overrightarrow{TB}=(1200|900|800)\). Karte: \(\sqrt{1200^2+900^2}=1500\). Seil: \(\sqrt{1500^2+800^2}=1700\) — dieselben zwei Pythagoras-Schritte wie in der Herleitung. Fahrzeit \(1700:5=340\ \text{s}\), also 5 min 40 s.
Die Karte zeigt nur \(x_1\) und \(x_2\) — der Höhenunterschied steckt in \(x_3\).
Seillänge = \(\sqrt{(\text{Kartenentfernung})^2+(\text{Höhenunterschied})^2}\).
A8
Fehlersuche im Heft
AFB III

Sechs Aussagen aus einem Schulheft — drei davon sind falsch. Überprüfen Sie jede Aussage.

In diesem Text stecken Fehler. Klicken Sie genau die falschen Zeilen an — die richtigen müssen stehen bleiben.
Die häufigsten Fehler: Beträge statt Vektoren subtrahieren, Klammer beim Quadrieren vergessen und die Wurzel am Ende weglassen.
Rechnen Sie jede Zahlenaussage kurz nach.
Für eine allgemeine Aussage genügt ein einziges Gegenbeispiel, um sie zu widerlegen.
A9
Trickaufgabe: Luftlinie im Würfel
TrickAFB III

Ein würfelförmiger Container hat die Kantenlänge 10 m. Eine Fliege fliegt geradlinig von einer Ecke in die gegenüberliegende Ecke. Schätzen Sie die Flugstrecke auf ganze Meter ab.

Schieben Sie den Regler auf Ihre Antwort — Pfeiltasten bewegen ihn schrittweise. Nach dem Prüfen sehen Sie den Trefferbereich.
10 m30 m
\(\sqrt{10^2+10^2+10^2}=10\sqrt3\approx17{,}3\ \text{m}\). Die Falle: 30 m (drei Kanten entlang) oder 14 m (nur die Flächendiagonale \(10\sqrt2\)). Die Raumdiagonale ist immer \(\sqrt3\)-mal so lang wie die Kante.
Die Ecke gegenüber liegt bei \((10|10|10)\), wenn die Fliege im Ursprung startet.
\(\sqrt{300}\) liegt zwischen \(\sqrt{289}=17\) und \(\sqrt{324}=18\).
A10
Abstände abschätzen
AFB III

Beurteilen Sie ohne Taschenrechner, in welchem Bereich der Abstand vom Ursprung liegt.

Wählen Sie für jede Zeile eine Stufe: 1 = kleiner als 4, 2 = 4 bis 8, 3 = 8 bis 12, 4 = 12 bis 16, 5 = größer als 16. Mit der Tastatur: Tab zur Zeile, ←/→ zwischen den Stufen, Enter setzt.
1 = kleiner als 45 = größer als 16
P(2 | 3 | 6)
P(1 | 1 | 1)
P(10 | 0 | 10)
P(6 | 6 | 6)
P(12 | 12 | 0)
\(\sqrt{49}=7\); \(\sqrt3\approx1{,}7\); \(\sqrt{200}\approx14{,}1\); \(\sqrt{108}\approx10{,}4\); \(\sqrt{288}\approx17{,}0\). Abschätzen gelingt mit bekannten Quadratzahlen: 100, 144, 196, 256.
Berechnen Sie nur \(x_1^2+x_2^2+x_3^2\) und vergleichen Sie mit 16, 64, 144 und 256.
Zum Beispiel \(200\): zwischen \(144=12^2\) und \(256=16^2\).