1
Vom Verbindungsvektor zur Länge
Der Abstand zweier Punkte ist die Länge ihres Verbindungsvektors.
- Verbindungsvektor:\(\overrightarrow{AB}=\vec b-\vec a\) — „Spitze minus Fuß“, koordinatenweise.
- Betrag:Die Länge eines Vektors heißt Betrag \(|\vec v|\).
- Abstand:\(d(A,B)=|\overrightarrow{AB}|\) — die Länge der Strecke \(\overline{AB}\).
- Idee:Die drei Koordinatendifferenzen sind die Kanten eines Quaders, der Abstand ist seine Raumdiagonale.
Herleitung:
\(d_1^{\,2}=(b_1-a_1)^2+(b_2-a_2)^2\)
Pythagoras
Diagonale \(d_1\) der Grundfläche des Quaders.
\(d^{\,2}=d_1^{\,2}+(b_3-a_3)^2\)
Pythagoras
Das Dreieck aus \(d_1\), der senkrechten Kante und \(d\) ist rechtwinklig.
\(d^{\,2}=(b_1-a_1)^2+(b_2-a_2)^2+(b_3-a_3)^2\)
einsetzen
\(d_1^{\,2}\) aus der ersten Zeile eingesetzt.
\(d=\sqrt{(b_1-a_1)^2+(b_2-a_2)^2+(b_3-a_3)^2}\)
Ergebnis
Wurzel ziehen — \(d\) ist eine Länge, also positiv.
Merke
Abstand zweier Punkte: \(d(A,B)=|\overrightarrow{AB}|=\sqrt{(b_1-a_1)^2+(b_2-a_2)^2+(b_3-a_3)^2}\)
Verschiebe den Punkt B mit den drei Reglern. Beobachte die farbigen Quaderkanten und wie sich der Abstand aus ihnen zusammensetzt — auch dann, wenn eine Differenz negativ wird.
Halte fest: Die Vorzeichen der Differenzen spielen keine Rolle — beim Quadrieren wird jede Kante positiv gezählt.
2
Rechnen mit Werkzeug
- GTR:Casio fx-CG50, Run-Matrix: OPTN → MAT/VCT (F2) → ▷ (F6) → ▷ (F6) → ▷ (F6) → Norm( (F1), dann den Vektor als [[b₁−a₁, b₂−a₂, b₃−a₃]] eingeben (eckige Klammern mit SHIFT + und SHIFT −), EXE.
- CAS:TI-Nspire CX CAS: norm([4,6,3]−[3,2,1]) liefert exakt \(\sqrt{21}\), mit ctrl enter die Näherung 4.58258.
- Exakt lassen:Im hilfsmittelfreien Teil Wurzeln teilweise ziehen: \(\sqrt{50}=5\sqrt2\).
- Seiten prüfen:Gleich lange Seiten zeigen gleichschenklige Dreiecke oder Rauten — alle Seitenlängen über den Abstand.
- Einheit:Ohne Angabe: Längeneinheiten (LE); im Sachkontext die Einheit der Achsen (z. B. 1 LE = 10 m).
3
Allgemeine Hinweise
Keine Summe der Kanten
\(d\ne|b_1-a_1|+|b_2-a_2|+|b_3-a_3|\) — die Wurzel darf nicht in die Summe gezogen werden.
Reihenfolge egal
\(d(A,B)=d(B,A)\): Ob \(b_1-a_1\) oder \(a_1-b_1\) — nach dem Quadrieren ist es dasselbe.
Minus in der Klammer
\((-3)^2=9\), aber \(-3^2=-9\). Differenzen immer erst ausrechnen, dann quadrieren.