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Abituraufgaben: Abstand zweier Punkte

Stahlseile im Hochseilgarten und ein Drohnenflug mit knappem Akku — Abstände entscheiden, ob es reicht.

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Seile im Hochseilgarten

AFB I–II

In einem Hochseilgarten stehen drei Plattformen an den Punkten \(P_1(0|0|4)\), \(P_2(6|8|4)\) und \(P_3(6|8|10)\) (Koordinaten in m, \(x_3\) ist die Höhe über dem Waldboden). Zwischen den Plattformen werden Stahlseile geradlinig gespannt.

Seile im Hochseilgarten
x₁x₂x₃P₁P₂P₃
Plattformen als Punkte, Maße in m, \(x_3\) = Höhe über dem Waldboden.
  1. Geben Sie den Verbindungsvektor \(\overrightarrow{P_1P_2}\) an.
  2. Berechnen Sie die Länge des Seils von \(P_1\) nach \(P_2\).
  3. Beschreiben Sie die Lage von \(P_3\) relativ zu \(P_2\).
  4. Entscheiden Sie, ob ein 12 m langes Seil für eine direkte Verbindung von \(P_1\) nach \(P_3\) ausreicht.

Hinweise

Hinweis zu Aufgabe a)
Spitze minus Fuß — Koordinate für Koordinate.
Hinweis zu Aufgabe b)
Betrag des Vektors aus a).
Hinweis zu Aufgabe c)
Vergleichen Sie die Koordinaten von \(P_2\) und \(P_3\) einzeln.
Hinweis zu Aufgabe d)
Abstand \(P_1P_3\) berechnen und mit 12 m vergleichen. Für das Befestigen braucht man etwas Reserve.Entscheiden heißt: sich festlegen und die Entscheidung begründen.

Erwartungshorizont

Erwartungshorizont zu Aufgabe a)

\(\overrightarrow{P_1P_2}=(6-0\,|\,8-0\,|\,4-4)=(6|8|0)\).

Erwartungshorizont zu Aufgabe b)

\(|\overrightarrow{P_1P_2}|=\sqrt{36+64+0}=\sqrt{100}=10\). Das Seil ist 10 m lang.

Erwartungshorizont zu Aufgabe c)

\(P_3\) hat dieselben \(x_1\)- und \(x_2\)-Koordinaten wie \(P_2\), liegt aber 6 m höher: \(P_3\) befindet sich senkrecht 6 m über \(P_2\).

Erwartungshorizont zu Aufgabe d)

\(\overrightarrow{P_1P_3}=(6|8|6)\), \(|\overrightarrow{P_1P_3}|=\sqrt{36+64+36}=\sqrt{136}\approx11{,}66\ \text{m}\).

Rechnerisch reicht das Seil (Reserve etwa 34 cm). Da für Knoten bzw. Befestigung und den Durchhang zusätzliche Länge nötig ist, ist die Reserve sehr knapp — sinnvoll ist ein längeres Seil. Beide Entscheidungen sind mit dieser Begründung vertretbar.

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Drohnenflug mit knappem Akku

AFB II–III

Eine Drohne startet im Ursprung \(O(0|0|0)\) eines Sportplatzes, fliegt geradlinig zum Wegpunkt \(A(20|60|15)\), dann zu \(B(80|{-}20|15)\) und anschließend geradlinig zurück zum Start (Angaben in m). Laut Hersteller reicht eine Akkuladung für 250 m Flugstrecke. Die Fernsteuerung hat eine Reichweite von 90 m.

Drohnenflug
x₁x₂x₃OAB
Start im Ursprung \(O\), Wegpunkte \(A\) und \(B\), Maße in m.
  1. Ermitteln Sie die Gesamtlänge des Fluges.
  2. Nehmen Sie Stellung zur Aussage: „Der Akku reicht für diesen Flug problemlos.“
  3. Untersuchen Sie, ob die Drohne auf dem Weg von \(A\) nach \(B\) die Reichweite der Fernsteuerung überschreitet.

Hinweise

Hinweis zu Aufgabe a)
Drei Teilstrecken als Abstände berechnen und addieren.
Hinweis zu Aufgabe b)
Vergleichen Sie mit 250 m und überlegen Sie, welche Einflüsse im Modell fehlen.Eine Stellungnahme wägt Rechnung und Realität gegeneinander ab.
Hinweis zu Aufgabe c)
Punkte der Strecke: \(X=A+t\cdot\overrightarrow{AB}\), \(0\le t\le1\). Wie verhält sich \(|\overrightarrow{OX}|^2\) als Funktion von \(t\)?

Erwartungshorizont

Erwartungshorizont zu Aufgabe a)

\(|\overrightarrow{OA}|=\sqrt{400+3600+225}=\sqrt{4225}=65\); \(\overrightarrow{AB}=(60|{-}80|0)\), \(|\overrightarrow{AB}|=100\); \(|\overrightarrow{OB}|=\sqrt{6400+400+225}=\sqrt{7025}\approx83{,}8\).

Gesamt: \(65+100+83{,}8\approx248{,}8\ \text{m}\).

Erwartungshorizont zu Aufgabe b)

Rechnerisch bleiben nur etwa 1,2 m Reserve. Das Modell vernachlässigt Start- und Landephase, Wind, Kurvenflug und die sinkende Akkuleistung bei Kälte. „Problemlos“ trifft daher nicht zu — der Flug sollte verkürzt oder mit vollem, warmem Akku bei Windstille geplant werden.

Erwartungshorizont zu Aufgabe c)

\(X(t)=(20+60t\,|\,60-80t\,|\,15)\), \(d(t)^2=(20+60t)^2+(60-80t)^2+225=10\,000t^2-7200t+4225\).

Die Parabel ist nach oben geöffnet, ihr Maximum auf \([0;1]\) liegt deshalb an einem Rand: \(d(0)=65\), \(d(1)\approx83{,}8\). Die größte Entfernung beträgt etwa 83,8 m < 90 m — die Reichweite wird nicht überschritten. (Das Minimum liegt bei \(t=0{,}36\) mit \(d\approx54{,}1\ \text{m}\).)