MINT lernen

Einen Parameter anpassen

Ein Regler, eine Bedingung, ein Wert — und manchmal gibt es gar keinen.

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Übungsaufgaben

Zehn interaktive Übungen zum Klicken, Ziehen und Knobeln — von AFB I bis AFB III. Jede Übung gibt dir sofort Rückmeldung; wenn du hängst, helfen dir die zwei gestuften Tipps unter jeder Aufgabe.

A1
Was bewirkt der Faktor a?
AFB I

Gegeben ist die Schar fₐ(x) = a · (x + 1) · (x − 4) mit a ≠ 0. Welche Aussagen gelten für jeden zulässigen Wert von a?

Mehrere Antworten sind richtig. Markiere alle zutreffenden und klicke dann auf „Prüfen“.
a streckt nur in y-Richtung: Nullstellen und Scheitelstelle (Mitte der Nullstellen) bleiben. Der y-Achsenabschnitt fₐ(0) = −4a wandert dagegen mit a mit. Und a = 0 liefert keine Parabel, sondern die Nullfunktion — deshalb ist a ≠ 0 vorausgesetzt.
Setze probeweise a = 1 und a = −2 ein und vergleiche die beiden Parabeln.
fₐ(0) = a · 1 · (−4) = −4a hängt von a ab. Die Scheitelstelle liegt mittig zwischen −1 und 4.
A2
Stimmt's? — Fünferserie
AFB I

Fünf Behauptungen rund um Funktionenscharen mit einem Parameter.

Fünf Aussagen nacheinander. Eine falsche Einschätzung reicht — dann startest du die Serie mit „Neue Runde“ neu.
Aussage 1 von 5

Merksatz: Ein Faktor a legt Höhe und Steigung fest, aber nie die Lage von Nullstellen oder Extremstellen. Bedingungen an die Lage sind deshalb entweder automatisch erfüllt oder gar nicht.
Frage dich bei jeder Aussage: Verändert der Faktor a diese Eigenschaft überhaupt?
Für die Rechenaussage: (2 + 1) · (2 − 5) = 3 · (−3) = −9.
A3
Lückentext mit Wortbank
AFB I

Setze die Fachbegriffe an die richtige Stelle — ein Wort bleibt übrig.

Wort anklicken, dann Lücke anklicken (oder umgekehrt) — mit Tab und Enter geht es genauso. Ein Klick auf eine gefüllte Lücke legt das Wort zurück.

Ein Faktor a vor dem Funktionsterm streckt den Graphen in . Die bleiben dabei unverändert, ebenso die x-Koordinaten der ; nur deren y-Werte ändern sich. Ist a negativ, wird der Graph zusätzlich an der gespiegelt, und aus einem Hochpunkt wird ein .

„x-Richtung“ ist der typische Denkfehler: Ein Faktor vor dem ganzen Term multipliziert die Funktionswerte, also die y-Werte. Eine Streckung in x-Richtung entstünde erst, wenn a im Inneren bei x stünde.
Denke an fₐ(x) = a · g(x): Womit wird hier multipliziert — mit x oder mit dem Funktionswert?
Ist g(x₀) = 0, dann ist auch a · g(x₀) = 0. Ein negatives a kehrt jedes Vorzeichen um.
A4
Ein a, keins oder jedes?
AFB II

Schar gₐ(x) = a · (x + 1)² · (x − 2) mit a ≠ 0; ihre Ableitung ist gₐ′(x) = 3a · (x + 1)(x − 1). Sortiere die Forderungen danach, wie viele Werte von a sie erfüllen.

Ziehe jede Karte in den passenden Korb — oder wähle sie mit Enter aus und drücke dann die Ziffer des Korbs (0 legt sie zurück).
1genau ein a
2kein a
3jedes a
Die Extremstellen −1 und 1 und die Nullstellen −1 und 2 sind für alle a gleich. An der Stelle 1 liegt der Punkt (1 | −4a): Für a > 0 ist er ein Tiefpunkt, für a < 0 ein Hochpunkt. „T(1 | 2)“ bräuchte a = −0,5 — dann ist es aber ein Hochpunkt. Genau diese Vorzeichenfalle unterscheidet „kein a“ von „genau ein a“.
Berechne gₐ(1) = a · 4 · (−1) = −4a und gₐ(0) = −2a. Was liegt fest, was hängt von a ab?
T(1 | −2): −4a = −2 → a = 0,5 > 0, also wirklich Tiefpunkt ✓. T(1 | 2): −4a = 2 → a = −0,5 < 0 — dann ist (1 | 2) ein Hochpunkt ✗.
A5
Steigung vorgeben
AFB II

Die Schar fₐ(x) = a · (x + 3) · (x − 1) soll an der Stelle x = 1 die Steigung 6 haben. Bestimme a.

Rechne selbst und trage das Ergebnis ein — Enter prüft direkt.
fₐ(x) = a · (x² + 2x − 3), also fₐ′(x) = a · (2x + 2) und fₐ′(1) = 4a. Aus 4a = 6 folgt a = 1,5. Häufiger Fehler: fₐ(1) = 6 ansetzen — gefordert ist aber die Steigung, nicht der Funktionswert.
Steigung heißt Ableitung: Die Bedingung lautet fₐ′(1) = 6.
Erst ausmultiplizieren: fₐ(x) = a · (x² + 2x − 3). Dann fₐ′(x) = a · (2x + 2) und x = 1 einsetzen.
A6
Von klein nach groß
AFB II

Zur Schar fₐ(x) = a · (x + 2) · (x − 4) gehören fünf Forderungen. Jede legt ein a fest. Ordne die Forderungen nach ihrem a-Wert — der kleinste zuerst.

Ziehe die Karten in die richtige Reihenfolge — mit der Tastatur: ↑/↓ verschiebt, Shift+↑/↓ wechselt nur den Fokus.
1Scheitelpunkt auf Höhe 18
2Graph durch P(5 | −7)
3Schnitt mit der y-Achse bei 6
4fₐ(1) = −4,5
5Steigung 9 an der Stelle x = 4
Die a-Werte: −2 (Scheitel: fₐ(1) = −9a = 18), −1 (fₐ(5) = 7a = −7), −0,75 (fₐ(0) = −8a = 6), 0,5 (−9a = −4,5) und 1,5 (fₐ′(4) = 6a = 9). Am häufigsten verrutscht der Scheitel: Wer vergisst, dass ein Scheitel „oben“ ein negatives a verlangt, landet bei +2 statt −2.
Berechne für jede Forderung erst den Ausdruck in a: fₐ(0) = −8a, fₐ(1) = −9a, fₐ(5) = 7a. Der Scheitel liegt bei x = 1.
Für die Steigung: fₐ′(x) = a · (2x − 2), also fₐ′(4) = 6a. Dann jeweils nach a auflösen und vergleichen.
A7
Der Sprung eines Delfins
AFB II

Ein Delfin taucht bei x = 1 aus dem Wasser auf und bei x = 7 wieder ein (x, y in m, Wasseroberfläche auf der x-Achse). Seine Flugbahn wird durch dₐ(x) = a · (x − 1) · (x − 7) beschrieben.

Rechne die Kette Schritt für Schritt: Erst wenn ein Schritt stimmt, wird der nächste freigeschaltet. Enter prüft.
  1. An welcher Stelle x ist der Delfin am höchsten? m
  2. Die größte Höhe beträgt 4,5 m. Bestimme a.
  3. Welche Steigung hat die Bahn beim Auftauchen (x = 1)?
  4. Ein zweiter Delfin taucht an denselben Stellen auf und ein, aber mit Steigung 2. Wie hoch springt er? m
Die Höhe ist dₐ(4) = −9a, die Anfangssteigung dₐ′(1) = −6a. Beide hängen nur über a zusammen: Höhe = 1,5 · Anfangssteigung. Deshalb reicht eine einzige Messung (Höhe oder Steigung), um die ganze Bahn festzulegen.
Der höchste Punkt liegt mittig zwischen den Nullstellen. Setze diese Stelle in dₐ ein.
dₐ(4) = a · 3 · (−3) = −9a = 4,5. Ableitung: dₐ′(x) = a · (2x − 8), also dₐ′(1) = −6a.
A8
Fehlersuche im Schulheft
AFB III

Aufgabe im Heft: „Bestimme a so, dass fₐ(x) = a · (x − 1)(x + 5) einen Hochpunkt auf Höhe 4,5 hat.“ Drei der sechs Zeilen sind falsch — zum Teil nur in der Begründung.

In diesem Text stecken Fehler. Klicke genau die falschen Zeilen an — die richtigen musst du stehen lassen.
In Klassenarbeiten am häufigsten: das Vorzeichen beim Teilen durch eine negative Zahl (Zeile 3). Die Vorzeichenprobe „Passt a < 0 zu einem Hochpunkt?“ deckt ihn sofort auf.
Rechne jede Zeile selbst nach und prüfe bei jedem a, ob das Vorzeichen zur Art des Scheitels passt.
Setze a = −0,5 und a = 0,5 in fₐ(−2) = −9a und in fₐ(0) = −5a ein.
A9
Parameter quer durchs Kapitel
AFB III
Interleaving-Mix

Fünf Scharen, fünf Forderungen. Verbinde jede Forderung mit dem passenden Wert von a. Achtung: Nicht immer ist a ein Streckfaktor.

Klicke links einen Eintrag an und dann rechts den passenden — es entsteht eine Verbindungslinie. Mit der Tastatur: Enter zum Auswählen, ↑/↓ zum Wandern.
Bei fₐ(x) = x² + a · x steht a nicht als Faktor vor dem Term — hier verschiebt a die Scheitelstelle (fₐ′(x) = 2x + a = 0 ⇒ x = −a/2). Beim letzten Term liegen die Extremstellen dagegen für jedes a bei −1 und 1, also nie bei 0. Erst hinschauen, wo der Parameter steht, dann rechnen.
Übersetze jede Forderung in eine Gleichung: Punkt → fₐ(x) = y, Steigung → fₐ′(x) = m, Scheitel/Hochpunkt → fₐ′(x) = 0.
Beispiele: 4a = 2; 3a = 6; 6 + a = 0; fₐ(2) = −4a = 2. Beim letzten: fₐ′(x) = 3a · (x − 1)(x + 1).
A10
Die Bedingung, die nichts verrät
AFB III
Trickaufgabe

Schar fₐ(x) = a · (x + 1) · (x − 3) + 2 mit a ≠ 0. Gesucht ist die Funktion, deren Graph durch P(3 | 2) geht und deren Scheitel auf Höhe 6 liegt.

Spiele die Lösung Schritt für Schritt durch: Was folgt als Nächstes? Nur die richtige Karte bringt dich weiter.
    Der Trick: Die erste Bedingung sieht wie eine Information aus, ist aber für jede Scharkurve erfüllt — sie liefert keine Gleichung für a. Wer blind „einsetzen und auflösen“ anwendet, erhält 2 = 2 und ist ratlos. Erst die zweite Bedingung legt a = −1 fest.
    Setze x = 3 ein und schau genau, was mit dem Faktor (x − 3) passiert.
    Scheitelstelle: Mitte von −1 und 3. Dann fₐ(1) = a · 2 · (−2) + 2 = 6 lösen.