Ein Parameter verändert den Graphen
Steht im Funktionsterm ein Parameter \(a\), gehört zu jedem Wert von \(a\) eine eigene Funktion — eine Funktionenschar \(f_a\).
- Schar:\(f_a(x)=a\,x^2(x-3)\) mit \(a\neq 0\).
- Nullstellen:\(x=0\) (doppelt) und \(x=3\) bleiben für jedes \(a\) gleich.
- Streckung:Jeder Funktionswert wird mit \(a\) multipliziert; \(a<0\) spiegelt den Graphen an der \(x\)-Achse.
- Extremstellen:bleiben bei \(x=0\) und \(x=2\); nur die \(y\)-Werte ändern sich, bei \(a<0\) tauschen Hoch- und Tiefpunkt.
- Anpassen:eine Unbekannte \(a\) → eine Bedingung legt die Funktion fest.
Wähle eine Zielvorgabe und stelle \(a\) mit dem Regler ein — oder ziehe den Extrempunkt bei \(x=2\) nach oben oder unten (Pfeiltasten: \(a\) in Schritten von \(0{,}05\)). Ist das Ziel erreicht, wird es grün. Passt kein \(a\), drücke „Geht nicht“.
Halte fest: Der Parameter \(a\) streckt nur in \(y\)-Richtung. Bedingungen an Höhe oder Steigung lassen sich mit genau einem \(a\) erfüllen — die Lage der Null- und Extremstellen verschiebt er nie.
a rechnerisch bestimmen
Statt zu probieren, wird die Bedingung zu einer Gleichung mit der einzigen Unbekannten \(a\).
Rechnung:\(f_a(x)=a\,(x-1)(x-5)\), der Scheitelpunkt bei \(x=3\) soll auf Höhe \(2\) liegen.
Der Scheitel liegt mittig zwischen den Nullstellen \(1\) und \(5\).
\(x=3\) in den Term einsetzen.
\(2\cdot(-2)=-4\).
\(a<0\): Die Parabel ist nach unten geöffnet, der Scheitel \({S(3\mid 2)}\) ist ein Hochpunkt — passt.
- Mit Steigung:\(f_a'(x)=a\,(2x-6)\); Steigung \(3\) bei \(x=1\): \(f_a'(1)=-4a=3\) → \(a=-0{,}75\).
- Probe:\(f(3)=-0{,}5\cdot 2\cdot(-2)=2\) ✓
Bedingung einsetzen, nach a auflösen: \(f_a(3)=2 \;\Rightarrow\; a=-0{,}5\)
Allgemeine Hinweise
Linearfaktoren lesen
Steht der Term als Produkt da, sieht man sofort: Der Faktor \(a\) ändert keine Nullstelle.
Vorzeichen von a prüfen
Bei \(f_a(x)=a\,x^2(x-3)\) ist \((2\mid -4a)\) für \(a<0\) ein Hochpunkt, für \(a>0\) ein Tiefpunkt. Passt das Vorzeichen nicht zur Bedingung, gibt es keine Lösung.
Nicht jede Bedingung erfüllbar
Die Lage einer Extremstelle hängt hier nicht von \(a\) ab. „Hochpunkt bei \(x=3\)“ erfüllt kein einziges \(a\).