Die Kinderrutsche
AFB I–IIEin Hersteller von Spielgeräten beschreibt das Profil einer Rutsche durch die Funktionenschar \(f_a(x)=a\,(x-4)^2\,(x+2)\) mit \(a>0\) und \(0\le x\le 4\) (\(x\) und \(f_a(x)\) in Metern). Bei \(x=0\) beginnt die Rutsche an einer Plattform, bei \(x=4\) endet sie auf dem ebenen Boden. Mit dem Parameter \(a\) passt der Hersteller die Rutsche an verschieden hohe Plattformen an.
- Weisen Sie nach, dass jede Rutsche der Schar an der Plattform waagerecht beginnt und bei \(x=4\) flach auf dem Boden ausläuft.
- Die Plattform ist \(2{,}4\) m hoch. Bestimmen Sie den passenden Wert von \(a\).
- Berechnen Sie für diese Rutsche die Stelle, an der sie am steilsten ist, und den Neigungswinkel dort.
- Begründen Sie, dass jede Rutsche der Schar in der Mitte (\(x=2\)) genau halb so hoch ist wie an der Plattform.
Hinweise
Hinweis zu Aufgabe a)
Hinweis zu Aufgabe b)
Hinweis zu Aufgabe c)
Hinweis zu Aufgabe d)
Erwartungshorizont
Erwartungshorizont zu Aufgabe a)
\(f_a'(x)=a\,[2(x-4)(x+2)+(x-4)^2]=a\,(x-4)(3x)=3a\,x\,(x-4)\).
\(f_a'(0)=0\): Die Rutsche beginnt für jedes \(a\) waagerecht. \(f_a(4)=a\cdot 0\cdot 6=0\) und \(f_a'(4)=0\): Sie endet auf Bodenhöhe mit Steigung \(0\), läuft also flach auf dem ebenen Boden aus. Grund: \(x=4\) ist doppelte Nullstelle, und die Extremstellen \(0\) und \(4\) hängen nicht von \(a\) ab.
Erwartungshorizont zu Aufgabe b)
\(f_a(0)=a\cdot 16\cdot 2=32a=2{,}4\ \Rightarrow\ a=0{,}075\).
\(f(x)=0{,}075\,(x-4)^2(x+2)=0{,}075x^3-0{,}45x^2+2{,}4\).
Erwartungshorizont zu Aufgabe c)
\(f'(x)=0{,}225x^2-0{,}9x\), \(f''(x)=0{,}45x-0{,}9=0\ \Rightarrow\ x=2\); \(f'''(x)=0{,}45\neq0\).
\(f'(2)=0{,}9-1{,}8=-0{,}9\). An den Rändern ist \(f'(0)=f'(4)=0\), also ist \(x=2\) die steilste Stelle. \(\tan\alpha=0{,}9\ \Rightarrow\ \alpha\approx42{,}0^\circ\).
Die Rutsche ist 2 m hinter der Plattform am steilsten und fällt dort unter etwa \(42^\circ\) ab.
Erwartungshorizont zu Aufgabe d)
\(f_a(2)=a\cdot(-2)^2\cdot 4=16a\) und \(f_a(0)=32a\), also \(f_a(2)=\tfrac12\,f_a(0)\) für jedes \(a>0\).
Da \(a\) alle Funktionswerte gleichmäßig streckt, bleibt das Verhältnis zweier Höhen unabhängig von \(a\). Für die Plattform mit 2,4 m ist die Rutsche bei \(x=2\) also 1,2 m hoch.
Die Seilrutsche im Kletterwald
AFB II–IIIIn einem Kletterwald soll eine Seilrutsche gebaut werden. Das Seil beginnt am Startturm A in \(12\) m Höhe und endet \(40\) m weiter an der Zielplattform B in \(2\) m Höhe. Die Person hängt in einem Gurt etwa \(1{,}5\) m unter dem Seil und rollt allein durch die Schwerkraft.
Das Seil wird modellhaft beschrieben durch \(s_a(x)=12-0{,}25x+a\,x\,(x-40)\) mit \(a\ge0\) und \(0\le x\le40\) (alle Angaben in Metern, \(x\): waagerechter Abstand vom Startturm). Der Parameter \(a\) hängt davon ab, wie straff das Seil gespannt wird. Der Betreiber wünscht sich „möglichst viel Tempo und Nervenkitzel“; die Zielplattform soll aber ohne fremde Hilfe erreicht werden.
- Erläutern Sie die Bedeutung des Parameters \(a\) im Sachzusammenhang, auch für den Fall \(a=0\).
- In der Mitte zwischen den Türmen soll das Seil \(2\) m unter der straffen Verbindungslinie hängen. Ermitteln Sie den zugehörigen Wert von \(a\) und den Funktionsterm.
- Untersuchen Sie, für welche Werte von \(a\) eine Person die Zielplattform B ohne Hilfe erreicht.
- Der Betreiber schlägt einen Durchhang von \(3\) m in der Mitte vor. Beurteilen Sie diesen Vorschlag.
Hinweise
Hinweis zu Aufgabe a)
Hinweis zu Aufgabe b)
Hinweis zu Aufgabe c)
Hinweis zu Aufgabe d)
Erwartungshorizont
Erwartungshorizont zu Aufgabe a)
Für jedes \(a\) gilt \(s_a(0)=12\) und \(s_a(40)=2\): Das Seil ist immer an A und B befestigt. \(12-0{,}25x\) ist die straffe Verbindungslinie; der Zusatzterm \(a\,x\,(x-40)\) ist für \(0<x<40\) und \(a>0\) negativ — das Seil hängt unter die Gerade durch.
\(a=0\): völlig straffes, gerades Seil (in der Praxis nicht erreichbar). Je größer \(a\), desto lockerer ist das Seil und desto größer der Durchhang \(a\,x\,(40-x)\), in der Mitte \(400a\).
Erwartungshorizont zu Aufgabe b)
Durchhang in der Mitte: \((12-0{,}25\cdot20)-s_a(20)=-a\cdot20\cdot(-20)=400a=2\ \Rightarrow\ a=0{,}005\).
\(s(x)=12-0{,}25x+0{,}005x^2-0{,}2x=0{,}005x^2-0{,}45x+12\).
Erwartungshorizont zu Aufgabe c)
\(s_a'(x)=-0{,}25+a\,(2x-40)\). Für \(a>0\): \(s_a'(x)=0\ \Leftrightarrow\ x_T=20+\frac{1}{8a}\) (Tiefpunkt, da \(s_a''=2a>0\)).
Die Person erreicht B genau dann, wenn das Seil bis \(x=40\) fällt, also \(x_T\ge40\): \(\frac1{8a}\ge20\ \Leftrightarrow\ a\le\frac1{160}=0{,}00625\) (einschließlich \(a=0\)). Das entspricht einem Durchhang in der Mitte von höchstens \(400\cdot0{,}00625=2{,}5\) m.
Kontrolle für b): \(s'(40)=-0{,}25+0{,}005\cdot40=-0{,}05<0\) — das Seil fällt bis zum Ziel, B wird erreicht.
Erwartungshorizont zu Aufgabe d)
3 m Durchhang: \(400a=3\Rightarrow a=0{,}0075>0{,}00625\). Tiefpunkt bei \(x_T=20+\frac{1}{0{,}06}\approx36{,}7\) m mit \(s(x_T)\approx1{,}92\) m — tiefer als B (2 m).
Die Person rollt etwa 3,3 m vor der Plattform zurück und pendelt im Tiefpunkt aus; sie muss geborgen werden. Die Füße wären dort nur etwa \(1{,}92-1{,}5\approx0{,}4\) m über dem Boden.
Urteil: Der Vorschlag ist abzulehnen (oder nur mit Rückholseil/Zugsystem umsetzbar). Mehr Tempo bei sicherem Ankommen erreicht man höchstens bis zu einem Durchhang von 2,5 m; mit 2 m (Teil b) bleibt eine Reserve für Seildehnung und schwerere Personen. Vollständig ist eine Antwort, die Ankunft, Haltepunkt und Bodenabstand rechnerisch belegt und daraus eine Empfehlung ableitet.